Eşit kollu terazide ağırlık sorusu

Question

Bir bakkal eşit kollu terazi ile 40 kilograma kadar tüm tam ağırlıkları tartmak istemektedir. Bu iş için en az kaç farklı ağırlığı olmalıdır?

Cevap :4

Kaynak: MY Matematik 1 Sayfa 375 Soru 8

Her ağırlıktan bir adet bulunması gerektiği belirtilmemiş. Bu varsayımla bile 6 farklı ağırlıktan daha az bir sonuca ulaşamadım. 

1 2 5 10 20 40 kilogramlara ihtiyaç duyulacağını düşünüyorum. 

Answer 1

Buradaki mantık anlaşılırsa (40 dan daha büyük sayılara) genelleştirmek mümkün.

Her ağırlık, terazide tartılacak nesne ile aynı tarafta veya diğer tarafta olabilir veya hiç terazide olamayabilir. Bu da, akla 3 tabanını getiriyor ama önce küçük bir işlem gerekli. 

Her $n$ (tartılacak nesnenin kg olarak  ağırlığı) sayısını

$$n+\sum a_i3^i=\sum b_i3^i,\quad a_i,b_i\in\{0,1\}, a_i+b_i\neq2$$ şeklinde sonlu toplamlar olarak (gerekmiyor ama hem de tek şekilde) yazabiliriz. Bu da $3^i$ kg tartıların $a_i=1$ ise nesne ile aynı tarafa, $b_i=1$ ise diğer tarafa konması, $a_i=b_i=0$ ise hiç konmaması durumunda terazinin dengede olacağını gösteriyor. (Böyle yazılışın varlığı şöyle gösterilebilir: $n=\sum c_i3^i$ olsun $c_i=2$ ise her (bu şekildeki en küçük $i$ den başlayarak) her iki tarafa $3^i$ ekleyip bitene kadar devam edin.)

Böylece şunu da göstermiş olduk :

1,3,9,27,81 kg lık ağırlıklarla 121 kg ye kadar her (tamsayı!) ağırlığı tartabiliriz.

1,3,9,27,81,243 kg lık ağırlıklarla 364 kg ye kadar her (tamsayı!) ağırlığı tartabiliriz.

vs.

Answer 2

1,3,9 ve 27 ile hepsine ulaşabilirsiniz...

Comments

Çok teşekkür ederim.

Answer 3

1 var.

2 =3-1 (bir kefeye 3 kg diğerine 1 kg )   

3 var

4 =3+1

5 = 9 –(3+1)

6 =9-3

7 =(9+1)-3

8 =9-1

9 var

10 =9+1

11=(9+3)-1

12 =9+3

13=9+3+1

14=9+3+1

15= 27 –(9+3) . 

16=(27+1)-(9+3)

....

40=27+9+3+1=40