Farklı gösterge kümeleriyle aynı kümeyi yaratmak

Question

Diyelim ki $A_1,\dots, A_{n+1}\subset \{1,2,\dots,n\}$ kümeleri boştan farklı olsun. Bu durumda öyle iki tane boştan farklı ve ayrık (disjoint) $I,J\subset \{1,\dots,n+1\}$ gösterge (index) kümeleri vardır ki $$\bigcup_{i\in I} A_i=\bigcup_{j\in J} A_j$$

eşitliği sağlanır.

---

Açık ki $n$ tane küme için bu eşitliği gerçeklemek mümkün değil. Diğer yandan $n+1$ tane küme ile bu eşitlik elde edilebiliyorsa, daha fazla için de elde edilebilir. Yani soru diyor ki, bu eşitliği sağlamak için en az $n+1$ tane kümeye ihtiyaç var.

---

İpucu: doğrusal bağımsızlık (linear independence) 

Comments

$n$ tane küme için bu eşitliği gerçeklemek "mümkün değil" yerine "her zaman mumkun degil" olabilir. $A_i=\{1\}$ secersek mumkun olur. Fakat $A_i=\{i\}$ secersek mumkun olmaz.

---

Bu soruya da bakilabilir.