Fonksiyon cisimlerinde turevin ferdi unsur ile iliskisi [kapalı]

Question

Onsav 4.1.3:  $x \in F$ elemani $F/K$ fonksiyon cismi icin bir ferdi unsur (separating element)  olsun ve $\delta_1,\delta_2: F \to M$ turevleri icin $\delta_1(x)=\delta_2(x)$ olsun.Bu durumda $\delta_1=\delta_2$ olur.

Answer 1

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k \in K[x]$ olsun. Bu durumda $i=1,2$ icin  $$\delta_i(f(x))=(\sum\limits_{k=0}^nka_kx^{k-1})\delta_i(x)$$ olur. (Onsav 4.1.2'yi kullanaraktan). $\delta_1(x)=\delta_2(x)$ oldugundan ve yukaridaki esitlikten dolayi her $f(x) \in K[x]$ icin $\delta_1(f(x))=\delta_2(f(x))$ olur.

$z \in K(x)$ olsun. $z$ elemanini $f(x),g(x) \in K[x]$ olacak sekilde $z=f(x)/g(x)$ olarak yazabiliriz. (Onsav 4.1.2)'yi kullanarak $$\delta_1(z)=\frac{g(x)\delta_1(f(x))-f(x)\delta_1(g(x))}{y^2}=\frac{g(x)\delta_2(f(x))-f(x)\delta_2(g(x))}{y^2}=\delta_2(z)$$ olur. Yani $\delta_1$ ve $\delta_2$ fonksiyonlarin $K(x)$ cismine kisitlamalari esittir.

Simdi $y \in F$ elemani alalim. $h(T)=\sum\limits_{i=0}^nu_iT^i \in K(x)[T]$ elemani $y$ elemaninin $K(x)$ cismi uzerindeki minimal polinomu olsun. ($h(y)=0$ olacagini aklimizda bulundiralim). $j=1,2$ icin $$0=\delta_j(0)=\delta_j(h(y))=\sum\limits_{i=0}^n(u_i\delta_j(y^i)+y^i\delta_j(u_i))$$ $$=(\sum\limits_{i=0}^niu_iy^{i-1})\delta_j(y)+\sum\limits_{i=0}^ny_i\delta_j(u_i)$$ olur. $h$ polinomu $y$ elemaninin minimal polinomu oldugundan $h'(y)$ sifir olamaz. Bu nedenle $j=1,2$ icin  $$\delta_j(y)=\frac{1}{h'(y)}\sum\limits_{i=0}^ny_i\delta_j(u_i)$$ olur. $u_i \in K(x)$ oldugundan $\delta_1(u_i)=\delta_2(u_2)$ olur ve dolayisiyla da $\delta_1(y)=\delta_2(y)$ olur.