Question

Bir $R$ halkasında halkanın nilpotent elemanı sadece 0 dır ancak ve ancak $a^2=0$ ise $a=0$ dır gösteriniz.

Comments

Sorunun yazilisinda bir hatami var acaba?

"$a^2=0$ ancak ve ancak $a=0$" ise $R$'nin sifir olmayan sifirguclu elemani yoktur.

olabilir mi?

Answer 1

$a \neq 0$ olan bir sifirguclu eleman alalim. O zaman bir adet en kucuk $n>0$ var ki $a^n=0$ olur. Simdi $n$'den buyuk esit en kucuk cift sayiyi alalim, $m$. O zaman $x^m=(x^{m/2})^2=0$ olur. Hipotezimizden $a^{m/2}=0$. Bu en kucuk $n$ ile celisir (n=1 degilse, 1 se zaten direk sifir).

Comments

Çok teşekkür ederim.

---

zaten ilk yon basit. Yapamazsan onu da eklerim. Bu ters yon icin cevap.

Answer 2

Hocamız bu şekilde verdi soruyu :/

Comments

Bunu duzenleden yoruma cevirebilirsin. Cevap degil cunku :) ama ben yanlis anlamisim ilk, Turkcede zorlaniyorum biraz.. Fakat cozum dogru.. Bu sekilde olacak..

Answer 3

Ifadenin bir yonu oldukca bariz; o yuzden sadece bir yonunu anlatmaya calisayim.

$a^2 = 0$ denkleminin tek cozumunun $a = 0$ oldugunu varsayalim.

$A \in R$ sifirdan farkli bir sifirguclu eleman olsun. $A^n = 0$ olan en kucuk bir $n$ pozitif sayisi vardir. $n = 2k$ bir cift sayi ise   $$A^n = A^{2k} = (A^k)^2 = 0$$ esitligi, varsayimdan oturu  $A^k = 0$ olmasini gerektirir. Ama $k < 2k = n$. Bu $n$ sayisinin en kucuk olma ozelligiyle celiski yaratir.

Eger $n$ tek sayi ise $n+1$ ile ayni oyunu oynayabiliriz. ($n >1$ oldugu icin herhangi bir sikinti yasamayiz.)

Answer 4

$R$ halkasında $0$ dışında nilpotent eleman olmasın. Bu durumda eğer $a^2=0$  ise $a$ bir nilpotent eleman olur ve kabulümüzden $a=0$ elde edilir. Tersine $a^2=0\Rightarrow a=0$ olsun. Eğer $x$ bir nilpotent eleman ise $x^m=0$ olacak şekilde bir $m>0$ tamsayısı vardır. Eğer $m$ çiftse kabülden $x^{m/2}=0$ elde edilir.
Eğer $m$ tekse $m+1$ çift olup $x^{m+1}=0$ ve yine kabülden $x^{(m+1)/2}=0$ elde edilir.  $m$ bir pozitif tamsayı olduğundan benzer işlemler tekrar edilerek sonlu adım sonrası $x=0$ elde edilecektir. Yani halkanın sıfırdan başka nilpotent elemanı yoktur.