Question

$x,y,z$ pozitif gercel saylardir. $x\cdot y\cdot z=1$, $9x^3+12y^2+2y(z)^3$ toplamının alabileceği en küçük değer

Comments

Lutfen sorunuzun basligini soru ile ilgili seciniz ve sorudan bagimsiz ifadeleri baslikta bulundurmayiniz.

---

$3x^2+\lambda yz=0$
$24y+2z^3+\lambda xz=0$
$6yz^2+\lambda xy=0$
$xyz=1$

olarak Lagrange katsayi yontemi uygulayayim dedim ama (islem hatasi yok ise) $\lambda=-3\cdot2^{3/5}$. Buna gore $x,y,z$ degerlerini bulmak gerekir.

Daha basit cozumu var midir, bilemem.

Answer 1

Sorunun asıl çözümü Lagrange dan geliyor. Soruyu soruluş amacına uygun çözersek Aritmetik ortalama büyük eşit geometrik ortalama eşitsizliğini kullanmamız gerekiyor. ( bu çözüm hatalı bir çözümdür çünkü bu eşitsizlik 2 terim için geçerlidir daha fazlası  için değil).

terimleri $9x^3, 12y^2 , 2yz^3$ olarak alırsak, hatalı çözüm der ki;

$\frac{9x^3+12y^2+2yz^3}{3}\geq\sqrt[3]{9.12.2.x^3.y^3.z^3}$ buradan 

$\frac{9x^3+12y^2+2yz^3}{3}\geq6$

son olarak $9x^3+12y^2+2yz^3\geq18$ gelir yani cevap 18 dir. 

Comments

Neden fazlasi icin gecerli degil?

Ek olarak: $\leq$ icin \leq ve $\geq$ icin \geq kodlarini kullanabilirsin.

---

https://groups.google.com/forum/#!searchin/tmoz/minumum$20değer|sort:date/tmoz/ICiU0V7GhJE/EJTa7EJ88uQJ

---

Küp kök için $ \sqrt[3]{x}$ yazabilirsiniz. $\sqrt[3]{x}$

---

$x,y,z$ pozitif olduğundan aritmetik ortalama geometrik ortalamadan her $n$ için büyüktür. Yani iki üç fark etmez.

---

pozitif olmasıyla alakalı değil zaten, terimlerin birbirine bağımlı olması ya da olmaması ile alakası var. 

Düzeltme: evet her n için büyüktür ama büyük eşit değildir.

---

$a_1=a_2=\cdots=a_n=a$ ise esitlik saglanir. 

---

önceki yorumda verdiğim linkte neden olmayacağı açıklanıyor. 

---

Link'e vs gerek yok. Çok karışık bir mail listesi, insan içinde boğuluyor. Zaten burası da bilgi platformu. Gerekmedikçe yönlendirme yapmamak gerekir.

Hatalı olmasının sebebi iki terimden fazla olması dendiği için, o kısmı anlamamıştım. Bunun için illa bir linke gerek yok. 

Aritmetik ortalama büyüktür geometrik ortalama. Bu her $n$ için sağlanır. Eger sayılar eşit ise eşitlik sağlanır. Burda sayıları eşit kabul edersek $9x^3=12y^2=2yz^3=6$ olmalı. Burdan $y=\sqrt{1/2}, x=\sqrt[3]{2/3},z=\sqrt[6]{18}$ olur. 

Şimdi neden bu çözüm hatalı? Benim atladığım bir yer mi var.