Mertebesi $3$ farklı asalın çarpımı olan bir grup basit olamaz.

Question

mertebe: order, basit: simple

Answer 1

Asallar $p<q<r$ seklinde olmali. Basit oldugunu varsayalim. Hic normal altgrubu olmadigindan $n_p,n_q,n_r>1$ olmali.

Sylow teorem: $n_t \equiv 1 \mod t$ ve $n_t \mid |G|/t$ saglanir.

1) ilk Sylow teoreminden dolayi $n_p>p$, $n_q>q$ ve $n_r>r$ olmali.
2) ikincisinden dolayi $n_r \mid pq$ olmali. $r<n_r=p$ ve $r<n_r=q$ olamayacagindan $n_r=pq$ olmali.

Eger elemanlari sayarsak eleman sayisi $>1+pq(r-1)+p(p-1)+q(q-1)>pqr$ olur. Celiski.

____________________
Ek:
1) Sylow teoremlerinin bilindik sirasini bilmiyorum, bu nedenle  yukaridaki siralama tutmayabilir.

2) Son esitsizlik icin $q(q-1)>qp$ esitsizligi kullanabilir.