De sitter düzleminin diğer düzlemlerle kesişimi ile ilgili bir soru(ekte)

Question

Answer 1

Soruyu tam anlayamadım. Önce verilen  düzlemlerlerden biri ile de Sitter  "düzlemi" (düzlem yerine yüzeyi desek daha iyi olmaz mı, veya daha basiti: tek kanatlı dönel hiperboloid)  arasındaki hacim soruluyor gibi geldi ama  soruda alan soruluyor (arada sözcüğü kafa karıştırıyor). Herhalde düzlemin ayırdığı yüzey parçasının alanı kast ediliyor. Fakat bu düzlemlerin hiç biri (tek bir düzlem)  ile o yüzey arasında sonlu bir hacim oluşmaz  veya sonlu alanlı bir yüzey parçası ayırmaz. 3 boyutlu olarak görmekte zorlanırsak,   2 boyutlu versiyonunu düşünebiliriz: $-x^2+y^2=1$ hiperbolu ile $ax+by=0$ doğruları arasında sonlu alanlı bir bölge oluşmadığı ve sonlu uzunlukta bir yay ayrılmadığı daha kolay görülüyor. Başka (denklemin sağ tarafında 0 dan farklı olan) bazı düzlemlerle olabiliyor (yine 2 boyutlu versiyonu düşünürsek bunun mümkün olduğunu görmek kolay).

Bir düzlem bölgesi üzerinde kalan yüzey alanı çift katlı integral ile hesaplanabilir ($R$, yüzey parçasının $xy$-düzlemine izdüşümü ve yüzey:$f(x,y)=z$ şeklinde ise) 

$$\iint_R\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\ dA$$

Bu formül ($xy$ düzlemi yerine) başka düzlemlere (ve daha genel yüzeylere) uyarlanabilir. 

Answer 2

Uzayda bu düzlemleri kesiştirdiğimiz zaman arada üçgensel bölge oluşmakta ve bu bölgelerin öklid uzayında dik izdüşümünü alarak 2 katlı integral yoluyla alanın nasıl hesaplanacağını arıyoruz. Formülde verilen dA ve integral sınırlarını nasıl bulabiliriz?

Answer 3

"de Sitter düzlemi" olarak adlandırdığınız yüzey bir düzlem olmadığı (bir dönel hiperboloiddir)  için onun  düzlemlerle keşişmesinden (bildiğimiz anlamda) doğrular oluşmayacak, dolayısıyla (bildiğimiz anlamda)  bir üçgen oluşmayacaktır. Aslında üçgen oluşsaydı alanını bulmak için iki katlı integral de gerekmezdi. Üçgeni "bulunca" (bununla köşelerinin koordinatlarını bulmayı kastediyorum) kenar uzunlukları hesaplanıp Heron un formülünden (veya vektörel yöntemlerle) alanı kolayca bulunur. İki katlı bir integralin nasıl hesaplanacağı burada anlatılamayacak kadar uzundur (bölgenin şekli uygunsa ardışık iki integrale dönüştürerek hesaplanır). Bir üniversite 1. sınıf matematik kitabından okumanız gerekir. O formülde $dA$ sembolikdir  (bölgenin şekline göre integrasyon sırasını belirtir, $dx dy$ veya $dy dx$ veya $r dr d\theta$ ya dönüşür). İşlem, integrallerin sınırları bulduktan sonra,  belirli integral hesaplamaktan farksızdır.