Elips teğetleri ile ilgili bir soru."Teğetlere dik olan tüm doğruların kesişiminin geometrik yeri nedir?"

Question

Şekildeki elipse bakalım;






Bu elipsteki odaklar  $F_1$   ve    $F_2$ dir.


Elips için teğetler analizi nasıl yapılır.

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 

Yani;

Üst Elips:$\zeta(x,a,b,+)=\sqrt{b^2\dfrac{a^2-x^2}{a^2}}=\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

Alt Elips:$\zeta(x,a,b,-)=-\sqrt{b^2\dfrac{a^2-x^2}{a^2}}=-\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

$\boxed{a,b\in\mathbb R^+}$

$2a=|L_1-L_2|$        ($x$ eksenindeki 2 en uzak nokta arası mesafe)

$2b=|S_1-S_2|$      ($y$ eksenindeki 2 en uzak nokta arası mesafe)

SORU 3: Elips üstündeki teğetler yol boyunca nasıl bir karakteristik izler?Mesela sol yarımkürede sol odağa sağ yarımkürede sağ odağa dogru bır yonelme mı olur?(bu tarz bır karakterıstıkten bahsedıyorum)


SORU 2: Elipsler için teğetlere dik olan tüm doğruların kesişiminin geometrik yeri nedir?

SORU 1: Elips üstündeki herhangi bir nokta için teğet denklemi veriniz.

Sorulara ayrı ayrı cevap atabilirsiniz, aynı anda 2 sorunun cevabını aramıyorum :)

http://matkafasi.com/100508/gezegenler-neden-elips-cizer

Comments

<p> Soru başına &quot;50&quot; ödül veriyorum ve &quot;150&quot; puanı düşüyorum .
</p>

---

50 ödül verip 150 düşmek niye :)

---

Sistemin tek sıkıntılı tarafı cevaplandı görülüyor soru.

---

3soru var her bırı 50 şer 

---

Hocam.İlk sorunuz sanırım basıklığa ( e ) bağlı olmalı. odakları $F_1(c_1,0) ve  F_2(c_2,0)$  köşeleri $A_1(a,0) ve A_2(-a,0)$ olan elips için

$0<e=\frac{c}{a}<1$  mesela e sayısı 1'e yaklaştıkça elips çemberleşeceğinden teğetlerin davranışı o'a yaklaştığında ki   teğetlerin davranışı farklı olur gibi geliyor bana. 

---

Soru 3 den bahsedıyorsunuz sanırım, evet kesinlikle hocam, bu arada sitemize renk getirdiniz katılımınız ve güzel üslubunuz için teşekkürler :)

---

Ne demek hocam sağolun,yaşımız sayı olarak yolun yarısını geçeli bir kaç sene oldu da ruhumuz genç ve de aç şu matematiğe. Hiç anlamadığım bilgisayar işin de latex kod yazıyorum  sayenizde.Daha ne olsun.Sağolun

Answer 1

SORU 3: için bie çözüm şöyle olabilir.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ elipsi üzerinde olan bir nokta $A(x_1,y_1)$ olsun. Bu noktadaki teğetinin eğimi:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{2x}{a^2}}{\frac{2y}{b^2}}=-\frac{b^2.x}{a^2.y}$ olduğu için $A(x_1,y_1)$ noktasındaki türev: $\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2.x_1}{a^2.y_1}$ olup teğet denklemi:

$y-y_1=-\frac{b^2.x_1}{a^2.y_1}(x-x_1)\Rightarrow a^2yy_1+b^2xx_1=a^2y_1^2+b^2x_1^2.....(*)$ olur.

 $A(x_1,y_1)$ elips üzerinde olduğu için,

 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2x_1^2+a^2.y_1^2=a^2b^2.......(**)$ olur. Eğer $(**)$ daki eşitlik $(*)$ de kullanılırsa,teğet denklemi

$a^2yy_1+b^2xx_1=a^2b^2\Rightarrow \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$  olarak bulunur.  

Comments

bence de yarayabilir ama biraz daha spesifik şeyler eklemek lazım sanıyorum verdiğim elips hakkında :) elinize sağlık

---

SORU 3 : Bu soruda sorulmak isteneni çok iyi anlayamadım. Teğetlerin karekteristiği ne demek? Sol yarım kürede( bununla sanırım $x<0$ bölgesi kasttediliyor)  sol odağa bir yönelim mi olur? ile ne sorulmak isteniyor?

SORU 2:  Bu soruda da teğetin değme noktasından geçen ve teğete dik olan (normalden mi?) doğrudan mı? Yoksa herhangi bir teğete dik olan tüm doğrudan mı bahsediliyor?

Answer 2

Ek:Meraklısına

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$   elipsi için eğimleri $m_1,m_2$ olan ve dik kesişen herhangi iki teğet alalım.Kesim noktaları  $K(x_0,y_0)$ olsun.

Teğet denklemleri :$y=m_1(x-x_0)+y_0$    ve   $y=m_2(x-x_0)+y_0$  dır.

Bu teğetlerin genel denklemi zaten $y=m.(x-x_0)+y_0$      şeklinde idi.

Herhangi bir doğru denklemini $y=m.x+n$ şeklinde yazabiliyoruz.

$y=m(x-x_0)+y_0$     ve   $y=m.x+n$ denklemlerini eşitleyelim.

$n=-m.x_0+y_0$   şimdi bu ifadeyi

$y=m.x+n$    doğrusunun   $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$    elipsine teğetlik şartında yani

$a^2.m^2+b^2=n^2$    ifadesinde yerine yazalım.

$a^2.m^2+b^2=(-m.x_0+y_0)^2$   düzenlersek.

$(a^2-x_0^2).m^2+2.m.x_0.y_0+b^2-y_0^2=0$    2.dereceden denklem elde ederiz.

Bu denklemin kökleri teğetlerin eğimleri olan $m_1$  ve $m_2$  yi verir.

Teğetler birbirini dik kestiğinden dolayı 

$m_1.m_2=-1$  ve denklemin kökler çarpımı 

$-1=\dfrac{b^2-y_0^2}{a^2-x_0^2}$    ve buradan  da 

$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$       elde edilir. (sanırım oldu)

Bu da yukarda bahsettiğim monj(monge) çemberidir.

Selamlar.

Düzeltme:Soru 2 de sorulan bu değil.Gecenin o vaktinde yanlış görmüşüm.Özür.