İki ayrık dense kümenin birleşimi olarak yazılabilen topolojik uzaylarda her kapalı küme bir kümenin sınırıdır.

Question

$Y$ iki ayrık ve yoğun altkümenin birleşimi şeklinde yazılabilen bir topolojik uzay olsun . Eğer $X   \subset  Y$ kapalı ise $X$ in öyle bir $V$ altkümesi vardır ki, $\partial(V)=X$

Comments

Başka kabuller de olmalı, örneğin ayrık gibi. Çünki bu koşullar her topolojik uzayda sağlanır. Örneğin $A=B=Y$ olsun. Her ikisi de $Y$ de yoğundur. (ayrıca $V,\ Y$ nin alt kümesi olmalı herhalde)

---

Rmzn in farkettiği gibi benim örneğim hatalı imiş

---

$V=(0,1) \cap \mathbb{Q}$ olarak alırsak $V$ kümesinin sınırı $X=[0,1]$ olur.

Answer 1

Doğan'ın söylediği son cevabın doğruluğunu kanıtlamak için aşağıdaki kanıtı ekliyorum.

$X$ bir topolojik uzay $D$, $X$ in yoğun bir alt kümesi olsun. Eğer $X\backslash D$, $X$ de yoğunsa kapalı her
$F$ alt kümesinin $X$ in bir $A$ alt kümesinin sınırı olduğunu göstermek istiyoruz. 
$F$ kapalı bir alt küme olsun. $V=int F$ ve $B=F\backslash V$ koyalım. $int B\subset B\subset F$ olduğundan
$int B\subset int F=V$ dir.  O halde  $int B\subset V\cap \left( F\backslash V\right) =\phi$ tur.  Dolayısıyla  $X\backslash B$ kümesi $X$ de yoğundur. Ayrıca  $\overline{V}\subset \overline{F}=F$ olduğundan $B\cup \overline{V}=F$ dir.
$A=B\cup\left( D\cap V\right)$ koyalım. $F=\partial A$ olduğunu göstermek istiyoruz. Öncelikle $V$ açık, $D$ yoğun ve $B$  kapalı olduğundan $\overline{V\cap D}=\overline{V}$ ve $\overline{B}=B$ dir. Ohalde
$\overline{A}=\overline{B\cup \left( D\cap V\right) }=\overline{B}\cup\overline{\left( D\cap V\right) }=B\cup \overline{V}=F$ dir.
Ayrıca $X\backslash B\cap X\backslash D$ kümesi $X$ de yoğundur. Bunu görmek i\c{c}in $W$ boş olmayan bir açık küme olsun.
$X\backslash B$ kümesi $X$ de yoğun ve açık olduğundan $G=W\cap X\backslash B$ boş olmayan bir açık kümedir.
$X\backslash D$ de  $X$ de yoğun  olduğundan
$$W\cap \left( X\backslash B\cap X\backslash D\right) =G\cap X\backslash D\neq \phi$$
olur. Dolayısıyla iddia edildiği  $X\backslash B\cap X\backslash D$ kümesi $X$ de yoğundur. Diğer taraftan
$X\backslash D\cup X \backslash V \subset X\backslash B\cap \left( X\backslash D\cup X \backslash V\right) \ =X\backslash A$
olup $X\backslash A$ kümesi $X$ de yoğundur. O halde
$$\partial A=\overline{A}\cap \overline{X\backslash A}=F\cap X=F$$
olur.

Answer 2

Galiba şöyle oluyor:

$A$ ve $Y\setminus A,\ Y$ de yoğun, $X\subseteq Y$ kapalı olsun.

$V=\partial X\bigcup \left(\textrm{Int}X\bigcap A\right)$ ($\textrm{Int}X:\ X$ in içi) olsun.

$\partial V=X$ oluyor sanki.

Answer 3

Ama cevap Ramazan'ın verdiği örneğin oralarda bir yerde. Diyelim $A$ kapalı bir küme $U$ ve $V$ de birbiriyle kesişmeyen yoğun kümeler olsun. Gösterilmesi gereken $U\cap A$ ve $V\cap A$ kümelerinin içinin boş olduğunu. (Hatta birisi de çalışır, örnekte olduğu gibi.)

Comments

Eğer $U \cap A$'yı aradığımız küme olarak kullanmak istiyorsanız göstermek istediğiniz şey ne yazık ki yeterli değil. $Int(U \cap A) \subseteq Int(U)=Y-Cl(Y-U)=Y-Cl(V)=Y-Y=\emptyset$ olduğu için söylediğiniz iki kümenin de içi boştur. Öte yandan genel olarak $Cl(U \cap A)=Cl(U) \cap Cl(A)$ ya da $Cl(V \cap A)=Cl(V) \cap Cl(A)$ olmak zorunda değil. Mesela $U$'yu rasyoneller $V$'yi de irrasyoneller olarak seçelim. $A$ da bir rasyonel bir de irrasyonel iki noktadan oluşan küme olsun. Bu durumda iki eşitlik de doğru değil.