Question

Verilen her $a_0,a_1>0$ icin $$a_{n+2}=\frac1{a_{n+1}}+\frac1{a_n}$$ dizisinin $\sqrt 2$ sayisina yakinsadigini gosteriniz.

Comments

Eşitlikteki $a_n+1$ mi? $a_{n+1}$ mi?

---

dedigin gibi hocam, ikincisi, duzeltiyorum simdi, tesekkurler.

---

Teşekkürler.

Answer 1

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=a$ ise , $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+2}=a$ olduğundan,

$a=\frac 1a+\frac 1a\rightarrow a^2=2\longrightarrow |a|=\sqrt2$ dir. dizinin terimleri pozitif olduğundan İstenen limit değeri $\sqrt2$ olur.

Comments

dizinin limiti var ise cevap bu sekilde fakat limiti olabilecegini gostermemiz lazim.

---

Evet. Ben de limiti $a$ ise diyerek (yani olmayabilir) çözdüm. Ama limitinin var olduğunun ispatını da sizden bekliyoruz.

---

ekleyen olmazsa ben eklerim hocam, hafta sonu  ekleyen olmazsa ben eklerim pazartesi.

---

Bekliyoruz hocam.

---

Monoton yakınsaklık teoremini kullanacağız. Hafta sonu fırsat bulabilirsem yazarım.

---

Monoton azalip ya da arttigindan emin degilim, denemedim. Fakat yakinsiyor. 

---

Monoton yakınsaklık teoremini kullanamıyoruz.

---

Fakat kendisi sınırlı (yani sınırlı olduğu gösterilebilir), bu nedenle lim sup ve lim inf kullanılabiliyor.

---

hocam ilk satır tamam sonsuza gittigi için 1.si a ise hepsi adır 2. satırda birden 

$\dfrac{1}{a}$+ $\dfrac{1}{a}$=$a$ yaptık bunu nasıl yaptık 

ve yaptıysak ozaman $\sqrt3$ de   $\dfrac{1}{a}$+$\dfrac{1}{a}$+ $\dfrac{1}{a}$=$a$ buradan olur:D

---

de mi hocam?

---

Limit degerinin var oldugu ve $a$'ya esit oldugu kabulu ile. Bu durumda $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ limitleri $a$'ya esit olur.

---

anladım teşekkürler.

---

"ekleyen olmazsa ben eklerim hocam, hafta sonu  ekleyen olmazsa ben eklerim pazartesi" :-)

---

Son olarak kimse eklememiş :)