$\lim_{n\longrightarrow\infty}\sin\sin\cdots\sin n=?$

Question

Limit icinde $n$ tane sinus var.

Comments

Buna benzer bir çok soru için,

lütfen buradaki yorum ve çözümlere bakınız.

---

bence pek bir benzerlik yok. Icinde sinus olmasi disinda. 

ipucu: $|\sin n| \leq 1$ ve de (Ek olarak: $\theta >0$ ise $\sin \theta < \theta$) $|\sin(\sin n)| < \sin 1$, $\cdots$. Yani $g(n)=|\sin \cdots \sin 1|$ azalan bir fonksiyon ve alttan sinirli. 

Daha degisik bir yaklasim olur mu bilmiyorum. Ben de bi bu var.

---

ayrıca o $n$ tane sinüs sonsuza gidiyor değil mi?

---

Metok hocam burada yalnizca icerideki arguman sonsuza gitmiyor, bileskesi alinan sinus fonksiyonlarinin sayisi da artiyor.

---

Bu dizi yakinsiyorsa, yakinsadigi seyin cok ulvi bir sayi olmasi gerekir.

Answer 1

1) Tum $n \geq 1$ icin $|\sin n| \leq 1$ esitsizligi saglanir.
2) $\theta >0$ icin $\sin \theta < \theta$ oldugundan $$|\sin(\sin n)| < \sin 1,$$ $$\vdots$$
3) $g(n)=|\sin \cdots \sin 1|$ fonksiyonunu inceleyebiliriz; $g$ azalan bir fonksiyon ve alttan sinirli. 
4) Demek ki $g$ foksiyonunun bir limiti var. Bu limite $L$ dersek $\sin L=L$ olmali. 
5) $\sin x=x$ denkleminin cozum kumesi $x=0$'dir.

Comments

Banach sabit noktayi kullanmak istedim ama kullanamadim: $$|\sin x-\sin y| \leq |x-y|$$ esitsizligi var.  $\cos 0=1$ isi bozuyor. $T(x)=\sin x$ icin bu teoremi kullanamiyor muyuz? Adamin zaten bir adet sabit noktasi var. Atladigim bir sey var mi?

---

http://math.stackexchange.com/questions/45283/compute-lim-limits-n-to-infty-sin-sin-dots-sin-n

Answer 2

 

Limit sifira yaklasiyor gibi..

Comments

 

...........................