Mordell-Weil Savı: E, Q üzerinde bir eliptik eğri olsun. Bu durumda E(Q) sonlu üretilmiş (finitely generated) değişmeli (abelian) bir gruptur.
Bu sava göre, E(Q)≅T×Zr
yazmak mümkün. Buradaki
T,
E(Q) grubunun burkulma (torsion) altgrubu. Bu durumda,
E eliptik eğrisinin
mertebesi (rank)
r olarak tanımlanır.
Örnek 1: E:y2=x3−x eliptik eğrisinin mertebesi 0'dır.
Örnek 2: E:y2=x3−17x eliptik eğrisinin mertebesi 2'dir.
Örnek 3: E:y2=x3−226x eliptik eğrisinin mertbesi 3'tür.
Sanı 1: Rastgele bir r=0,1,2,… için, mertebesi r olan bir eliptik eğri vardır.
Sanı 2: Bir p≡5(mod8) asalı için E:y2=x3+px eliptik eğrisinin mertebesi 1'dir.