X ve Y normlu uzaylar olmak üzere A:X→Y bir lineer dönüşüm olsun. Bu dönüşümün grafiği aşağıdaki kümedir:
Γ(A)={(x,y)∣(x,y)∈X×Y , y=Ax}
Tanım:
A bir H Hilbert uzayı üzerinde D(A)⊆H tanım kümesi ile tanımlı bir işlemci olsun. Eğer Ψ∈D(A) için ‖ olacak şekilde bir k\in \Bbb{R}^{+} varsa A ya sınırlı işlemci denir. \|.\|; H üzerinde skalar çarpım ile tanımlanan vektörün normunu göstermektedir.
Şayet böyle bir k\in \Bbb{R}^{+} bulunamıyorsa işlemci sınırsız demektir.
Hellinger-Toeplitz Teoremi:
A bir X Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve \forall x,y\in X için <x,Ay>=<Ax,y> (simetri özelliği) sağlayan bir işlemci olsun. Bu durumda A sınırlıdır.
Hellinger-Toeplitz teoremi; kapalı graf teoreminin sonucu olarak elde edilir. Şöyle ki;
"Simetri özelliğine sahip her yerde tanımlı lineer işlemcinin grafiği kapalıdır ve kapalı graf
teoreminden işlemci sınırlıdır.
İspata geçmeden önce Kapalı graf teoremini ifade etmek istiyorum.
Kapalı graf teoremi:
X ve Y Banach uzaylar olmak üzere T:X\rightarrow Y lineer işlemci ise T süreklidir \Leftrightarrow \Gamma(T) X\times Y de kapalıdır.
Yani eğer T:X\rightarrow Y Banach uzayları arasında bir işlemci ise X deki her \{x_{n}\} dizisi için
\{x_{n}\} X de bir x elemanına yakınsak ise \{T(x_{n})\} diziside Y de yakınsaktır ve limiti T(x) şeklindedir.
İspat:(Hellinger-Toeplitz Teoremi)
A; X Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve her x,y\in X için <x,Ay>=<Ax,y> özelliğini sağlasın. \Gamma(A) kapalı mıdır?
\{x_{n}\} X de bir dizi olsun. Kabul edelim ki;\{x_n\} x\in X e yakınsak ve \{Ax_{n}\} y ye yakınsak olsun. y=Ax olduğunu görelim. Her z\in X için <z,y>=lim_{n\rightarrow \infty}<z,Ax_{n}>=lim_{n\rightarrow \infty}<Az,x_{n}>=<Az,x>=<z,Ax> şeklindedir. Dolayısıyla \Gamma(A) kapalıdır ve A sınırlı olur. İspat biter.
Bu teorem H Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve simetri özelliğine sahip lineer işlemcinin daima sınırlı olduğunu söyler. Yani; Hellinger-Toeplitz teoremi sınırsız simetrik bir işlemcinin H nın tamamı üzerinde tanımlı olamayacağını söyler. Sınırsız işlemcilerin tanımlı olduğu yeri belirlemek önemlidir(sebebini bilmiyorum). Kuantum mekaniğinde örneğin enerji gibi; sınırsız ancak simetri özelliğine sahip işlemciler vardır. Hellinger-Toeplitz teoremi böyle operatörlerin her yerde tanımlı olmadığını söyler.
Bundan sonrası için sözü kuantum mekanikçilere bırakıyorum.