Question

$a,b\in \mathbb{Z}$ için $\mathbb{Z}/a\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/b=\mathbb{Z}/\text{gcd}(a,b)$

Answer 1

$\mathbf Z$ den $\mathbf Z/a \otimes \mathbf Z/b$ ye $n\to n\otimes 1$ şeklinde bir grup homomorfizması (benzer yapı dönüşümü) var. Bu homomorfizma örtendir ve çekirdeği (kernel) $a$ ve $b$ tarafından gerilen idealdir. Sayı teorisi kullanarak bu idealin $gcd(a,b)$ ile gerilen ideal olduğu kolayca gösterilebilinir.

Homoloji cebiri biliyorsaniz şöyle de görmek mümkün: $\mathbf Z /n$ grubu $\mu_n : \mathbf Z \to \mathbf Z$ ($n$ ile çarpma) homomorfizmasının eşçekirdeğidir (cokernel). Dolayısı ile $\mathbf Z /a \otimes \mathbf Z/ b$ bu şekildeki iki zincir kompleksinin çarpımının sıfırıncı homolojisi olur. Yani

$$0 \to \mathbf Z \oplus \mathbf Z \to \mathbf Z \to 0$$ zincir kompleksinin sıfırıncı homolojisi olur. Aradaki homomorfizma $(n, m) \to an+bm$ olur. Buradan $\mathbf Z /a \otimes \mathbf Z /b$ grubunun $\mathbf Z / (a,b)$ grubu ile eşyapılı olduğu görülüyor.

Son olarak, bu tensör için $a$ ve $b$ asal çarpanlarına ayrılıp oradan da çözüm görülebilinir (bilinen tensör çarpımı formülleri kullanılarak).