Sonsuz üs

Question

${y}^{{y}^{{y}^{{y}^{{y}^{{ \cdots}}}}}}$ ifadesini reel sayı yapan en büyük $y$ sayısını bulunuz.

Benzer şekilde ${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{ \cdots}}}}}}=2$ olduğunu fakat ${\sqrt{3}}^{{\sqrt{3}}^{{\sqrt{3}}^{{\sqrt{3}}^{{\sqrt{3}}^{{ \cdots}}}}}}$ ifadesinin reel sayı olmadığını gösteriniz.

Comments

Cevap var mı?

---

$max$ $y$ değerinin cevabı  $\sqrt[e]{e}$ mi

---

Doğrudur.

Çözüm yollar mısınız?

İfade için $y>\sqrt[e]{e}$ için çözüm olmadığını da görebiliriz.

---

Cevabı yazdım. Olmayana ergiden olan kanıtı da görmek isterim.

---

Kök kuvvetti pozitif doğal sayı olmak zorunda değil mi? $\sqrt[e]{e}$ nasıl bir sayıdır?

Answer 1

   Sonsuza giden kısma $x$ diyerek ifadeyi $y^x=x$  şeklide daha sade yazarız. Buradan hem $y$ hem de $x$'in reel sayı olması için $y$ sayısını $\sqrt[x]{x}$ biçimide tanımlamamız gerektiği çıkar. 

  Buradan sonra sadece türev almak kaldı.

  $\sqrt[x]{x}=y$       $lnx×\dfrac{1}{x}=lny$ 

 $\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}lnx=\dfrac{y'}{y}$

 $y.\dfrac{1}{x^2}(1-lnx)=y'$ 

 $1-lnx=0$    $=>$   $x=e$

            $\sqrt[e]{e}=y$

  

Comments

Ifade gercel bir sayi degilse nasil $x$ diyip gercel bir sayi gibi davranip turev aldik?

---

Bir de su esilikleri vereyim: $${\sqrt2}^2=2,$$ $${\sqrt2}^4=4.$$ Bu durumda $$\sqrt2^{\sqrt{2}^{\cdots}}=2 \text{ mi olur}$$ $$\sqrt2^{\sqrt{2}^{\cdots}}=4 \text{ mu olur}$$ yoksa hicbir degeri olmaz mi, ya da baska bir deger mi alir?

---

Hocam biraz kafam karıştı. Ben $y=\sqrt[x]{x}$ kalıbından gitmeye çalıştım ama sonsuzu bir kalıba oturtmak pek de mantıklı değilmiş. İfadeye şimdi belirsiz mi demeliyiz yoksa 2 ve 4 cevabını veren sonsuz üsler aslında farklı ifadeler mi demeliyiz. Sonsuz üs için reel değerler bulunabilir ama grafiği çizilemez düşünüyorum o yüzden ilk seçenek kafama daha çok yattı ama yine de emin olamıyorum. Birde test kitaplarının klasikleşmiş soru tarzı olan sonsuza giden bölüm ifadelerinde(bunu yazmaya latex bilgim yetmedi) sonsuza giden kısma $x$ diyerek çözdüğümüzde neden bu kargaşa ortaya çıkmıyor?

---

Cevap olarak ekledim. Yorumda bunlari anlatmasi zor olur.

---

https://www.youtube.com/watch?v=DmP3sFIZ0XE bu konuyla ilgili yeni bir video yüklenmiş bu da burada bulunsun 

---

Ayni ornegin verilmesi ilginc gibi dursa da degil aslinda, aklin yolu bir!

Answer 2

$a$ pozitif bir gercel sayi olsun. $$a_1=a \;\;\; \text{ ve } n\ge 1 \;\;\; \text{ icin }\;\;\; a_{n+1}=a^{a_n}$$ olsun. Diyelim ki $$\lim a_n= L$$ olsun. Bu durumda $$\lim a_{n+1}=L$$ olur. Dolayisi ile $$a^L=L$$ olur.

$L\ge 0$ olmasi gerektigini ve $L\ne 0$ olmasi gerektigini hemen goruruz. Ikisi de basit cikarim. Buradan $$L>0$$ oldugunu biliriz. Her iki tarafin pozitif olan $1/L$ kuvvetini alalim. Bu durumda $$a=L^{1/L}$$ olmali olur. 

Var oldugunu kabul ettigimiz $L$ pozitif bir gercel sayi.  Bu nedenle $$y=x^{1/x}$$ fonksiyonunu pozitif gercel sayilar uzerinde inceleyelim. 

Turevi incelendiginde (Basar'in cevabina bakabilirsiniz) bu fonksiyon:

$(0,e)$ uzerinde artan 
$(e,\infty)$ uzerinde azalan 

oldugunu goruruz ve surekli olan bu fonksiyon $$x=e$$ noktasinda maksimum degerini alir. Bu goruntu degeri ise $$e^{1/e}$$
 olur. Bu deger yaklasik olarak (wolfram-link) $$1.444667861009766$$ degerine esit. (cok onemli olmasa da). Buradan $$\sqrt{3}=u^{1/u}$$ olacak sekilde bir $u$ gercel sayisi olamaz diyebiliriz cunku her $x\in \mathbb R^+$ icin $$x^{1/x} \le e^{1/e} < \sqrt{3}$$ olur.

Kok iki ornegine donersek $$\sqrt2^2=2$$ ve $$\sqrt2^4=4$$ ayni anda saglaniyor. (Baska saglananlar da olabilir aslinda ama olamaz. Once artip sonra azalan bir surekli fonksiyon zaten en baba iki tane ters goruntuye gider). 

Limit var mi yok mu bunu da bilmiyoruz bu arada. Fakat limit var ise $$2 \;\;\; \text{ ya da } \;\;\; 4$$ olmak zorunda. 

Sav: Limit vardir ve $2$ degerine esittir. ($a=\sqrt{2}$ aldik).

Ispat:  (Kisa ispat. (1) ve (2)'yi gostermek kolay fakat gostermeliyiz. Bunu size birakiyorum).

(1) $a_n$ artan bir dizi.
(2) $a_n \le 2$ saglanir. 

Dolayisi ile monoton yakinsak teoremi geregi bu dizinin bir limiti $L$ vardir ve ustten $2$ ile sinirli oldugundan $$L\le 2$$ saglanir. Dolayisi ile $$L=2$$ olmali.