İntegral sorusu

Question

Aşağıdaki integrali çözünüz:

$\int_{2}^{4}\frac{\cos^4 \left ( 9-x \right )}{\cos^4 \left ( 9-x \right )+\cos^4 \left ( x+3 \right )}dx$

Not: Antiderivatif bulmak yerine başka bir yol bulunuz.

Comments

$$\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(9-x)}{\cos ^4(9-x)+\cos ^4(x+3)}dx=\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(x-9)}{\cos ^4(x-9)+\cos ^4(x+3)}dx$$

$x=y+3$ dönüşümü yapalım.

$$\int_{-1}^{1}\frac{\cos ^4(y-6)}{\cos ^4(y-6)+\cos ^4(y+6)}dy$$

Buradaki  çözüm işinize yarayabilir.

---

Ben bir çözüm göremedim.

Answer 1

$$x=-y+6\Rightarrow dx=-dy$$

$$x=2 \text{ için } y=4$$ $$\text{ve}$$ $$x=4 \text{ için } y=2$$ olacaktır.  Sonucunu aradığımız integrale $I$ diyelim.

$$I=\int_{4}^{2}\frac{\cos ^4(y+3)}{\cos^4 (y+3)+\cos^4(9-y)}(-dy)=\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(y+3)}{\cos^4 (y+3)+\cos^4(9-y)}dy$$ $$=$$ $$\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(x+3)}{\cos^4 (x+3)+\cos^4(9-x)}dx$$

$$I+I=\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(9-x)}{\cos^4 (9-x)+\cos^4(x+3)}dx+\int_{2}^{4}\frac{\cos ^4(x+3)}{\cos^4 (x+3)+\cos^4(9-x)}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{2}^{4}dx$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\dots$$

bulunur.