Question

$2^x$ interpolationı $1+x+\frac{x(x-1)}{2!}+\frac{x(x-1)(x-2)}{3!}+\cdots$ ilk $n+1$ terimin interpolation ı $2^x$ olacak şekilde Soru Yılmaz Akyıldız Hocam tarafından soruldu

Answer 1

Aşağıdaki cevap aslında Ali Nesin'in Analiz II kitabında 13.
Genelleştirilmiş Binom Açılımı (sayfa 238) kısmın  bu soruya
uyarlanmış şeklidir.

https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_2.pdf

$x$ herhangi bir gerçel sayı $x>0$ olsun. $n\geq 0$ olduğuna göre $\binom{x}{n}$ kombinasyonunun
$$\binom{x}{0}=1\text{ ve }n\geq 1\text{ ise }\binom{x}{n}=\frac{x\left( x-1\right) \cdots \left( x-n+1\right) }{n!}$$
olarak tanımlandığını hatırlayalım. O halde sözü edilen seriyi $\sum\limits_{n=0}^{\infty }\binom{x}{n}$ olarak görebiliriz. Şimdi
$$a_{n}\left( x\right) =\binom{x}{n}\text{ ve }b_{n}\left( x\right) =\left\vert a_{n}\left( x\right) \right\vert =\left\vert \binom{x}{n} \right\vert$$
koyalım. $S_{n}$, $\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right)$ serisinin $n$. kısmi toplamı ve $T_{n}$, $\sum\limits_{n=0}^{\infty }b_{n}\left( x\right)$ serisinin $n$. kısmi toplamı olsun. $N$ pozitif tamsayısını $N\geq x$ olacak şekilde seçersek $n\geq N+1$ için
$$b_{n+1}=\left\vert \binom{x}{n+1}\right\vert =\frac{\left\vert n-x\right\vert }{n+1}\left\vert \binom{x}{n}\right\vert =\frac{n-x}{n+1}b_{n}$$
$$nb_{n}-\left( n+1\right) b_{n+1}=xb_{n}$$
dir. Buradan
$$\sum\limits_{k=N+1}^{n}\left( kb_{k}-\left( k+1\right) b_{k+1}\right) =x\sum\limits_{k=N+1}^{n}b_{k}$$
$$b_{N+1}\left( N+1\right) >b_{N+1}\left( N+1\right) -b_{n+1}\left( n+1\right) =x\left( T_{n}-T_{N}\right)$$
Buradan
$$\frac{1}{x}\left( N+1\right) b_{N+1}+T_{N}>T_{n}$$
elde edilir. O halde $\sum\limits_{n=0}^{\infty }b_{n}\left( x\right)$ serisi $x>0$ için yakınsaktır. Bu ise $f\left( x\right) =\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right)$ serisinin $x>0$ için mutlak yakınsak olmasını gerektirir.

$\left\vert r\right\vert <1$ ise Binom açılımından dolayı $\left( 1+r\right) ^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right) r^{n}$ dir. Abel teoreminden dolayı ($x$ sabit tutulursa)
$$2^{x}=\lim_{r\rightarrow 1}\left( 1+r\right) ^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }a_{n}\left( x\right) =f\left( x\right)$$
O halde her $x>0$ için $f\left( x\right) =2^{x}$ dir.

Comments

(Sanırım) Link deki _ (alt çizgi nedeniyle) adres çubuğunda orada kendiliğinden bir / beliriyor, o nedenle tıklayınca açılmıyor. (Tıkladıktan sonra) Adresdeki ("analiz/ _2" kısmındaki) / silinince doğru sayfa çıkıyor. Düzeltmeye çalıştım  (ayrıca teoremin sayfa numarasını da ekledim) ama değişen bir şey olmadı.

Answer 2

Cozum soyle: 

Kabul edelim ki: ($a\in \mathbb{N}$) (a=0,1,2 icin dogru..)
$1+a+\frac{a(a-1)}{2!}+\cdots=2^a$
Burdan $1+(1+a)+\frac{(a+1)a}{2!}+\cdots=2(1+a+\frac{a(a-1)}{2!}+\cdots)=2^{a+1}$

Yani bu seri (dikkat ettigimizde terimler belirli bir degerden sonra sifirlanacak) dogal sayi degerleri icin tam esit.

O zaman interpolasyonu $x \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ icin yapabiliriz.