a,b birer reel sayı olmak üzere; Aşağıdaki işlemlerin sonuçları nedir?

Question

$a,b\in R$ olsun. Eğer ,$(a,b)=\{x:a<x<b,x\in R\}$ ,$[a,b)=\{x:a\leq x<b,x\in R\}$, $(a,b]=\{x:a<x\leq b,x\in R\}$,$[a,b]=\{x:a\leq x\leq b,x\in R\}$  iseler, aşağıdaki işlemlerin sonucu nedir.

1) $(a,b)-(a,b)$

2) $[a,b)-(a,b)$

3) $[a,b]-(a,b)$

4) $(a,b)-[a,b)$

5) $(a,b)-[a,b]$

6) $[a,b]-[a,b]$

Comments

$"-"$ işareti ile kümeler arasındaki fark işlemini mi kastediyorsunuz?

---

Evet murad hocam fark işlemini kasttediyorum.

---

Sonuçların bariz olduğu açık. Sanırım burada sizin aklınızda başka bir soru var. Doğru mu?

---

Evet. Benim aklımda başka şeyler var ama, önce sizin bariz olduğunu ifade ettiğiniz özellikle de 2-5 deki cevapları görmek istiyorum mümkünse? 

---

1) $(a,b)−(a,b)=\phi$

2) $[a,b)−(a,b)=\{a\}$

3) $[a,b]−(a,b)=\{a\},\{b\}$

4) $(a,b)−[a,b)=\phi$

5) $(a,b)−[a,b]=\phi$

6) $[a,b]−[a,b]=\phi$

Answer 1

$1)$ $(a,b)\backslash (a,b)=\{x| x\in (a,b) \wedge x\notin (a,b)\}=\{x| \underset {0}{\underbrace{p(x)\wedge p'(x)}}\}=\emptyset$

$2)$ $[a,b)\backslash (a,b)=\{x|x\in [a,b)\wedge x\notin (a,b)\}=\{a\}$

$3)$ $[a,b]\backslash (a,b)=\{x|x\in [a,b]\wedge x\notin (a,b)\}=\{a,b\}$

$4)$ $(a,b)\backslash [a,b)=\{x|x\in (a,b)\wedge x\notin [a,b)\}=\emptyset$

$5)$ $(a,b)\backslash [a,b]=\{x|x\in (a,b)\wedge x\notin [a,b]\}=\emptyset$

$6)$ $[a,b]\backslash [a,b]=\{x|x\in [a,b]\wedge x\notin [a,b]\}=\emptyset$

Comments

Bu çözümler ister istemez aşağıdaki soruları düşündürüyor.

1)Her hangi iki reel sayı arasında daima yeni bir reel sayı olduğuna göre (reel sayıların yoğunluğu) $(a,b)\backslash(a,b)=\emptyset$ eşitliği ne kadar doğrudur? Bu kümelerin aynı olduğunu,eşit olduklarını düşünmemiz ne kadar doğru?

2) 3. soruda sizin cevabınız $\{a,b\}$ ile bir başka cevap olan $\{a\},\{b\}$ arasında bir fark var mıdır? Eğer varsa ki vardır, bu farkın sebebi çözen kişilerin bilgi farkından mı,yoksa reel sayı aralıklarının yapısının tam olarak bilinmemesinden mi kaynaklanmaktadır?

3) 2. soruya, çözen kişilerin aynı cevabı vermesinden sonucun doğru olduğunu düşünelim. O zaman $|[a,b)|-|(a,b)|=|a|$ olduğunu söyleyebilir miyiz? Bu da bize bir noktanın bir uzunluğa sahip olduğunu göstermez mi? Kısaca noktanın boyutlu olduğunu düşünmek ne kadar yanlıştır? Özellikle uzunlukla ilgili işlemlerde buna benzer hususlara ne kadar dikkat ediliyor? 

4) Son olarak $[a,b)$ kümesinin eleman sayısı ile $(a,b)$ kümesinin eleman sayısı farkının $1$ olduğunu söyleyebilir miyiz? Eğer söyleyebilirsek bu da sonsuz elemanlı iki kümenin eleman sayıları arasındaki farkı bulabileceğimizi gösterir mi?

Bu ve benzeri daha pek çok soruyu düşünüyorum. Cevaplarınız için şimdiden çok teşekkürler.

---

Tanım (Aralık): $A\subseteq \mathbb{R}$ olmak üzere

$$A, \text{ aralık}:\Leftrightarrow [(x,y\in A)(x<z<y)\Rightarrow z\in A]$$

Bu tanımdan şunu anlıyoruz. Gerçel sayılar kümesinin bir $A$ altkümesinin aralık olması,

$$[(x,y\in A)(x<z<y)\Rightarrow z\in A]$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyor. Gerçel sayılar kümesinin 

$$[(x,y\in A)(x<z<y)\Rightarrow z\in A]$$ önermesini doğru kılan altkümeleri için  $$(a,b),[a,b),(a,b],[a,b],(-\infty ,a),(-\infty ,a],(a,\infty),[a,\infty),(-\infty, \infty)$$ gösterimlerini kullanırız ve bu kümeleri aşağıdaki gibi tanımlarız.

$$(a,b):=\{x|a<x<b\}$$ $$[a,b):=\{x|a\leq x<b\}$$ $$(a,b]:=\{x|a<x\leq b\}$$ $$[a,b]:=\{x|a\leq x\leq b\}$$ $$(-\infty ,a):=\{x|x<a\}$$ $$(-\infty ,a]:=\{x|x\leq a\}$$ $$(a,\infty):=\{x|x>a\}$$ $$[a,\infty):=\{x|x\geq a\}$$ $$(-\infty,\infty):=\{x|x\in \mathbb{R}\}$$

Gelelim sorularınıza.

1) $A$ ve $B$ herhangi iki küme olmak üzere $$A\backslash B:=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$$ şeklinde tanımlandığına göre  $$(a,b)\backslash (a,b):=\{x| x\in (a,b) \wedge x\notin (a,b)\}=\{x| \underset {0}{\underbrace{p(x)\wedge p'(x)}}\}=\emptyset$$ olduğundan 1. sorunuzun cevabı açık. Yani $$(a,b)\backslash (a,b)$$ kümesi ile $$\emptyset$$ aynı şeydir.

2) Fark tabi ki vardır. Söz konusu farkın sebebinin bilgi farkından olacağını zannetmem. Çünkü dünyanın her yerinde iki küme arasındaki fark yukarıda ifade ettiğimiz gibi yapılır.

3) $|[a,b)|$ gösterimi ile $[a,b)$ kümesinin kardinalitesini gösteriyoruz. $$|[a,b)|-|(a,b)|=|a|$$  gösterimindeki $$"-"$$ işlemini nasıl tanımlıyorsunuz?

4) Eleman sayısı kavramı sonlu kümeler için söz konusudur. Sonsuz kümeler için kardinalite kavramını kullanırız. Sonuç olarak $(a,b)$ kümesinin kardinalitesi ile $[a,b)$ kümesinin kardinalitesi hatta $\mathbb{R}$ kümesinin kardinalitesi aynıdır. Kardinal sayılarda çıkarma işlemini nasıl tanımlıyorsunuz?

---

Hocam,cevaplarınıza; fazla zaman ayırdığınızve ilgi gösterdiğiniz için çok teşekkür ederim. Üçüncü soruda "-" işlemini fark anlamında kullandım. 

---

İki gerçel sayı arasındaki fark ne demek biliyoruz. Peki iki kardinal sayı arasındaki fark ne demek? Nasıl tanımlanır?