Question

1'den n'ye kadar olan sayıların karelerin toplamı formülünün ispatı var mı ? İnternette araştırma yaptım animasyon buldum pek de anlaşılır değildi, matematiksel olarak ispatı olan var mı arkadaşlar ?

Answer 1

Konu hakkında verilebilecek birkaç ispat mevcut:

Öncelikli olarak tek sayıların toplamını kullanarak bulalım.

$k^2=1+3+5+...+(2k-1)$ olduğundan

$1^2=1 \\ 2^2=1+3 \\ 3^2=1+3+5 \\ ... \\ n^2=1+3+5+...+(2n-1)$

Taraf tarafa toplama yapalım.

$S=\sum_{k=1}^{n}k(2n-2k+1)=\sum_{k=1}^{n}2nk-\sum_{k=1}^{n}2k^2+\sum_{k=1}^{n}k \\ 3S=(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k$

$k$ toplam $\frac{n(n+1)}{2}$ olduğuna göre,

$3S=(2n+1) \frac{n(n+1)}{2} \\ S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$'dır.

Comments

Hocam taraf tarafa toplama yaptıktan sonrasını anlayamadım ? Ne ara 3 ile çarptık ? k neyi ifade ediyor ?  Biraz daha düzgün açıklayabilir misiniz ? Şimdiden iyi bayramlar dilerim.

---

Sağ taraftaki $-\sum_{k=1}^{n}2k^2$ ifadesi $-2S$ olduğundan ve sol tarafa geçirildiğinde $3S$ toplamı sağda olur.

---

$k$, toplamın değişkenidir.

$\sum_{k=1}^n k$ ifadesi, 1'den $n$'e kadar olan sayıların toplamıdır.

---

Hocam S= sonrasındaki toplam formülünn nasil ortaya çıktığını çözemedim. yani k•(2n-2k+1) nasil olusturuluyor?

Answer 2

İkinci bir yöntem de küp toplamdan çıkarılıyor:

$(1-0)+(8-1)+(27-8)+(64-27)+...+(n^3-(n-1)^3)=n^3$'tür.

Son terimi açalım: $n^3-(n-1)^3=n^3-(n^3-3n^2+3n-1)=3n^2-3n+1$ (I)

$n^2$ için de $n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1)=2n-1$ (II)

(I) nolu eşitlikten $n^2$, (II) nolu eşitlikten $n$'yi çözerek,

$n^2=\frac{n^3-(n-1)^3+3n-1}{3}$ (III)

$n=\frac{n^2-(n-1)^2+1}{2}$ (IV)

(IV)'ü (III)'ün sağına yerleştirirsek,

$n^2=\frac{n^3-(n-1)^3+3\frac{n^2-(n-1)^2+1}{2}-1}{3}=\frac{n^3-(n-1)^3}{3}+\frac{n^2-(n-1)^2}{2}+\frac{1}{6}$

Her iki tarafın toplamını alalım:

$\sum_{n=1}^{m}n^2=\sum_{n=1}^{m} \left( \frac{n^3-(n-1)^3}{3}+\frac{n^2-(n-1)^2}{2}+\frac{1}{6} \right)$

Sağ taraftaki birinci toplam $m^3$, ikinci toplam $m^2$'dir.

$\sum_{n=1}^{m}n^2=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}=\frac{2m^3+3m^2+m}{6}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$

Comments

Hocam bunu anladım ancak bir önceki ispatı yukarıda da belirttiğim gibi anlamadım.

Answer 3

Değişik yöntemler var. Biz şöyle yapalım Mete.

$T_n, \,\,\ 1$'den $n$'ye kadar sayıların toplamını; $K_n$ de $1$'den $n$'ye kadar sayıların kareleri toplamını göstersin. Bu durumda 

$$T_1=1, \,\ T_2=3, \,\ T_3=6, \,\ T_4=10, \,\ T_5=15 \ldots$$ ve

$$K_1=1, \,\ K_2=5, \,\ K_3=14, \,\ K_4=30, \,\ K_5=55 \ldots$$

olur. Şimdi şu oranlara bir bakalım.

$$\frac{T_1}{K_1}=1=\frac{3}{3}$$

$$\frac{T_2}{K_2}=\frac{3}{5}$$

$$\frac{T_3}{K_3}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

$$\frac{T_4}{K_4}=\frac{10}{30}=\frac{3}{9}$$

$$\frac{T_5}{K_5}=\frac{15}{55}=\frac{3}{11}$$

$$\vdots$$

$$\frac{T_k}{K_k}=\frac{3}{2k+1}$$

olacağını görmek zor olmasa gerek. O halde

$$\frac{T_n}{K_n}=\frac{3}{2n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{K_n}=\frac{3}{2n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$K_n=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{2n+1}{3}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ bulunur. Bu bulduğumuz sonucun bütün $n$ doğal sayıları için doğru olduğu tümevarım yöntemi ile gösterilebilir. Bu kısmını da sana bırakıyorum.

Comments

Çok teşekkür ederim. İyi bayramlar dilerim.