Question

$1+2+\cdots+n$ icin verilen toplam formulunun ispatlari nelerdir? 

Yaygin ortaogretimsel ispat: $T=1+2+\cdots+n=n+(n-1)+\cdots+1$ diyelim. Bu durumda $2T=(1+n)+(2+(n-1))+\cdots+(n+1)=n(n+1)$ olur.

ispat icin gorsel: $C(n,2)$ oldugunu gosteren her bir sari topa karsilik gelen ikili mavi top eslesmesi. Bknz. Gif (Yardim: Bu gorseli burda nasil gosterebilirim?)

Bir adet uzun ve dolambacli ispat vereyim:

ilk olarak toplam fonksiyonumuza $S(n)$ diyelim. Bu durumda   $$S(n) = S(n - 1) + n \tag{1}$$ olur. $n \to n+1$  degisimi yaptigimizda :  $$S(n + 1) = S(n) + n + 1\tag{2}$$ olur. Denklem(2)den denklem(1)'i cikartirsak:  $$S(n+1) - S(n) = S(n) + 1 - S(n - 1) \tag{3}$$ olur. Tekrardan yazarsak  $$\begin{cases} S(n+1) &= 2S(n) -S(n-1) + 1 \\ S(n) &= S(n) \end{cases} \tag{4}$$ elde ederiz. Matris sekilde yazarsak  $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(n) \\ S(n-1) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\tag{5}$$  olur ve kare matris yapmak icin $1=1$ esitligini eklersek  $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n+0) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(n) \\ S(n-1) \\ 1\end{bmatrix}\tag{6}$$ olur ve bunu teker teker uygularsak  $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\tag{6}$$ esitligini elde ederiz. Simdi $3\times3$'luk matrisin Jordan formunu bulup uygulayalim: $$\begin{align}\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} &=\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}\right)^n\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \binom{n}{1} & \binom{n-1}{2} \\ 0 & 1 & \binom{n}{1} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\end{align}\tag{7}$$ Matrisleri carpalim:  $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{ (2n+2)S(1) - 2nS(0) + {n}^{2} + n}{2} \\\frac{ 2nS(1) + (2 - 2n)S(0)+{n}^{2}-n}{2}    \\1\end{bmatrix} \tag{8}$$  $S(0) = 0$ ve $S(1) = 1$ oldugunu biliyoruz, bu durumda  $$S(n) = \frac{n^2 + n}{2} \tag{9}$$ esitligini elde ederiz.

Burda ek bir soru sorulabilir. Jordon formun $n$. kuvvetini nasil elde ettigimiz.

Ispat mathstackexchange sitesinden alintidir. Sadece boyle uzun ispatlarin da olabilecegini belirtmek icin yazdim.

Comments

Matris fantezisine girmeden de uzun ispatlar var mı hocam? :) birde okadar matris işleminin buradaki uzun yolu göstermekten başka bir amacı olabilir mi?

---

Ben sadece o baslikta gordugum en uzun ispati alip buraya yapistirdim. Tek gordugum sorunu da Jordan Formun $n$. kuvvetini nasil aldigi idi. Onu da belirttim. Yoksa ozel bir sebebi yok bunu secmemin..

---

Cahit Arf'ın bir sözü var : Fil silahıyla sinek öldürmek...

Answer 1

Kısa ve basit bir ispatta benden gelsin o zaman.

$1+2+3+4...+n=A$ dersek.

$n+(n-1)+(n-2)+....+1=A$ olduğuda aşikardır bunları taraf tarafa toplarsak.

$(n+1)+(n+1)+(n+1) ....(n+1)=2A$ olur.Burada n tane n+1 olduğu A eşitliğinden bellidir.

$n.(n+1)=2A$ ise $\frac{n.(n+1)}{2}=A$

Comments

Yazdiktan sonra soruyu duzenlemeye basladim, ortaogretim ogrencileri icin bunu da yazmis bulundum en basa o ara. Kusura bakma.

Answer 2

$(n+1)\times (n+1)$ sıra nokta düşünün. Bu karenin köşegeni üzerinde n+1 nokta var köşegenin altı ve üstü birbirine göre simetrik, köşegenin altında kalan her sıradaki nokta sayısının bir doğal sayıya karşılık geldiğini düşünürseniz, bu n sayının toplamı $(n+1)\times (n+1)$ karenin içindeki noktalardan köşegeni çıkarıp ikiye bölmektir. bu da $\frac{(n+1)^2- (n+1)}{2}$ olur.

Answer 3

$$1+2+3\cdots+n=an^2+bn+c=f(n)$$

diyelim.Buradan :

$$f(1)=a+b+c=1\\f(2)=4a+2b+c=3\\f(3)=9a+3b+c=6$$

olarak buluruz.Denklemi çözersek :

$$5a+b=3\\3a+b=2\\\:\\\:\\\:a=\frac{1}{2}\:\:\:,\:\:\:b=\frac{1}{2}\:\:\:,\:\:\:c=0$$

$$f(n)=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Ek bir bilgi : $f(n)=1^k+2^k+\cdots+n^k$ fonksiyonunun derecesi $k+1$ dir.

Comments

Kullanilan $k+1$ derece olmasini gostermek zor degil fakat soru bundan daha elementer gozukuyor sanki. Ben de bununla ilgili bir cevap ekleyecem.

Answer 4

$C(1,1)+C(2,1)+C(3,1)+....C(n,1)=C(n+1,2)=\frac{n(n+1)}{2}$ sütün toplamı

Answer 5

ilk olarak: $(i+1)^2-i^2=2i+1$.

O zaman

$2\cdot1+1=2^2-1^2$
$2\cdot2+1=3^2-2^2$
$\vdots$
$2\cdot n+1=(n+1)^2-n^2$

Simdi taraf tarafa toplarsak

$2(1+2+\cdots+n)+n=(n+1)^2-1$

esitligini elde ederiz. Burdan da $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n-1)}{2}$$ esitligini elde ederiz.

Answer 6

$n+1$ kosesi olan tam cizge dusunelim. Her kosesin derecesi $n$ oldugundan ve toplam kenar sayisi tum derecelerin toplaminin yarisi olacagindan  $$\frac{n(n+1)}2$$ olur. 

Eger bu cizgeden $1$ kose kaldirirsak diger koselerin derecesi $n-1$ olur ve kenar sayisi $n$ azalir. Bu islemi devam ettirerek kenarlari sayarsak $$n+(n-1)+\cdots+2+1$$ kenar oldugunu goruruz.

Bu iki farkli sayim bize $$1+2+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}2$$ oldugunu verir.

Comments

n+1n+1 kosesi olan tam cizge dusunelim.   nasıl bir çizge hocam bu? çok gen degil sanırım

---

"cizge kurami" ya da "graphy theory"... Resim (n=7 durumu icin)