$x^3=24y^2$ denkleminin TÜM pozitif tamsayı çözümleri $x=6n^2,\ y=3n^3\ (n\in\mathbb{N}^+)$ şeklinde midir?

Question

http://matkafasi.com/21147/%24y%24-pozitif-sayilar-olmak-uzere-olduguna-gore-toplami-kactir ile ilgili

Answer 1

1) ilk olarak $3$ sag tarafi boluyor. Bu nedenle $3$ sol tarafi da bolmeli. Yani $3\mid x^3$ olmali.

$3$ sayisi asal ve $x$ sayisi (varsa eger, ki var) bir tam sayi oldugundan $3\mid x^3$ bize $3\mid x$ oldugunu verir. Demek ki $27\mid x^3$ olmali. Bu da $27 \mid 24y^2$ oldugunu soyler.

Yani $9\mid y^2$ ve burdan da $3 \mid y$ odugunu soyleyebiliriz.

2) sag tarafi $2$ de boluyor. Ayni sekilde $2\mid x$ oldugunu gosterebiliriz.

3) Elimizde $3\mid y$ ve $6|x$ var. O zaman $x=6k$ ve $y=3m$ olacak sekilde $k,m$ tam sayilari vardir. Eger bunlari yiukaridaki esitlige yazarsak. $k^3=m^2$ yapar.

4) $m^2$ sayisi bir tam sayinin kupu. O zaman $m$ sayisi da bir kup olmali. Neden? 

5) Artik sonucu elde edebiliriz.