Question

L'hopital yontemi nedir? ispatlayiniz.

Comments

Ortaogretime cevirdim. Lisede ispatlamistik biz.

---

2 dip not

1. Buradaki hocalarimizi bilgilendirmek açisindan ,L'hopital lise müfredatindan kaldirildi (sebebini anlamadik ama) belirsizliklerin bazilariyla beraber geçen sene son defa anlatildi. 

2.Bu teoremin aslinda Johan Bernoulli ye ait oldugu Lopital e ders verirken anlattigi   ve sonra Lopital tarafindan yazilmiş tarihteki ilk diferansiyel analiz   kitabinda bahsetmesi sebebiyle kendi adiyla anilmasi gibi bir durum okumuştum (pisagor teoremi gibi bir durum)

---

Bilgilendirme için teşekkürler. Yine de ortaöğretimde kalmasında sakınca görmüyorum. Zira sınıflandırma müfredettan ziyade, kişilerin anlıklarının kapasitesine göre yapılıyor. Lise öğrencileri okulda öğrenmeseler bile anlayabilecekleri ve ispatlayabilecekleri bir teorem olduğunu düşünüyorum. Yanılmıyorumdur umarım.

Answer 1

L'Hôpital Kuralı (Basit Şekli);

$f(a)=g(a)=0$ olduğunu , $f'(a)$  ve  $g'(a)$ 'nın var olduğunu ve $g'(a)\neq 0$  olduğunu varsayın.

Bu durumda,    $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(a)}{g'(a)}$         olur.

İspatı:

Kendileri de limitle gösterilen  $f'(a)$  ve  $g'(a)$ 'dan tersine matematik yaparsak,

$\dfrac{f'(a)}{g'(a)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}$

$=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-\overbrace{f(a)}^0}{g(x)-\underbrace{g(a)}_0}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

$----------------$

L'Hôpital Kuralı (Daha kuvvetli hali):

$f(a)=g(a)=0$  olduğunu , $f$ ile $g$'nin $a$ noktasını içeren bir $I$ açık aralığında türevlenebilir olduklarını varsayın.Ayrıca $x\neq a$  ise ,$I$'da $g'(x)\neq0$ olduğunu varsayın.Bu durumda ,sağdaki limitin var olması koşuluyla,

$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$    olur.

$\star----------------------\star$

Cauchy Ortalama Değer Teoremi:

$f$  ve  $g$ fonskiyonlarının $[a,b]$ aralığında sürekli ,$(a,b)$ 'de türevlenebilir olduklarını ve ayrıca $(a,b)$'de $g'(x)\neq0$ olduğunu varsayın.Bu durumda ,$(a,b)$'de ;

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$   olacak şekilde bir $c$ sayısı bulunur.

$\star----------------------\star$

Cauchy'nin ispatı:

$g'(c)\neq0$ olduğundan , $g'(c)=\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}\neq 0$ yani,$g(a)\neq g(b)$ dir.

$F$ fonksiyonu yaratmak istiyoruz ve burada rolle teoremi,yani ortalama değer teoremini kullanmak istiyoruz,

Yani bize $F(a)=F(b)$ olacak dolayısıyla $F'(c)=0$ 'ı sağlayacak bir fonksiyon lazım,"$(a,b)$" aralığı hala kafanıza canlana-dursun.

$F(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$

$F$ fonksiyonu $f$ ve $g$ ile ortak bölgelerde türevlenebilirdir. Şimdi türev alalım,

$F'(c)=0=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g'(c))$  olur yani,

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$  , durumunu elde ederiz bu da zaten istediğimiz şey idi,Q.E.D. . $\Box$

$\star----------------------\star$

L'Hôpital Kuralı :Daha kuvvetli hali'nin ispatı:

Murad hocanın tanımlarını verdiği ,$x\to a^+$ için yapalım,

$x$'in $a$'nın sağında bulunduğunu varsayın.Bu durumda $g'(x)\neq 0$ olur ve $a$'dan $x$'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, $a$ ile $x$ arasında ,

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$  olacak şekilde bir $c$ sayısını sağlar.$f(a)=g(a)=0$  olduğundan dolayı,

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)}{g(x)}$  olur, $x$ , $a$'ya yaklaşırken ,$c$ de  $a$'ya yaklaşır , çünki $c$, $x$ ile $a$ arasındadır.Böylece ;

$\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{c\to a^+}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$   olur.Bu l'hôpital kuralını $x$'in  $a$'ya sağdan yaklaştığı durum için doğrular. $x$ 'in $a$'ya soldan yaklaşımı için;

$x\to a^-$ için yapalım,

$x$'in $a$'nın solunda bulunduğunu varsayın.Bu durumda $g'(x)\neq 0$ olur ve $a$'dan $x$'e kadar olan kapalı aralıkta "Cauchy O.D. Teoremi"ni uygulayabiliriz.Bu adım, $a$ ile $x$ arasında ,

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$  olacak şekilde bir $c$ sayısını sağlar.$f(a)=g(a)=0$  olduğundan dolayı,

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(x)}{g(x)}$  olur, $x$ , $a$'ya yaklaşırken ,$c$ de  $a$'ya yaklaşır , çünki $c$, $x$ ile $a$ arasındadır.Böylece ;

$\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{c\to a^-}\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$   olur. 2 sonucu da birleştirir isek,

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}}$   ispatlanır. Q.E.D. $\Box$

Comments

$F(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$  fonksiyonu ortalama deger teoreminin ispatında kullanılan eğim dogrusu formulunden gelıyor aslında.

---

Hocam x sonsuza giderken  ve sonsuz bölü sonsuz belirsizliklerinde ispat nasıl yapılır?

---

sonsuz/sonsuz demek sonsuz.(1/sonsuz)=(1/sonsuz)/(1/sonsuz) demek yani 0/0. Sezgisel olarak böyle düşünebilirsin.

Answer 2

L'Hospital Kuralı I: $-\infty \leq a<b\leq \infty$, $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ ve $g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ türevlenebilir, her $x\in (a,b)$ için $g'(x)\neq 0$ ve $\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=0$ olmak üzere

$$(a) \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in \mathbb{R} \,\ \text{ ise } \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=L.$$

$$(b) \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in \{-\infty,\infty\} \,\ \text{ ise } \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=L.$$

L'Hospital Kuralı II: $-\infty \leq a<b \leq\infty$, $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ ve $g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ türevlenebilir, her $x\in (a,b)$ için $g'(x)\neq 0$ ve $\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=\mp \infty$ olmak üzere

$$(a) \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in \mathbb{R} \,\ \text{ ise } \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=L.$$

$$(b) \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in \{-\infty,\infty\} \,\ \text{ ise } \,\ \lim_{x\rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)}=L.$$

Comments

İspatlar yok sanki.

---

Çok yorgunum. Başka zaman inşallah :-)