Question

$$\int_0^\infty\:\cos(x)\:x^{s-1}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:\cos(x)\:x^{s-1}\:dx$$

Ramanujan'ın ana teoremini kullanarak integrali çözebiliriz.Bunun için buraya bakılabilir.

Teorem :

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\phi(k)}{k!}\,(-x)^k$$

olmak üzere :

$$\{\mathcal{M}f\}\,(s)=\int_0^\infty\:x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma(s)\phi(-s)$$

Burada $\{\mathcal{M}f\}\,(s)$ , mellin dönüşümüdür.

$$f(x)=cos(x)\:\:\:,\:\:\:\phi(x)=\cos\Big(\frac{\pi{x}}{2}\Big)$$

dersek yukarıdaki eşitlikler sağlanır ve integrali çözmüş oluruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\:\cos(x)\:x^{s-1}\:dx=\Gamma(s)\cos\Big(\frac{\pi{s}}{2}\Big)}}$$