$1+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

Question

Bu ilginç eşitliğinin gerçekten sağlandığını nasıl gösterebiliriz?

Answer 1

Rusça bir sitede okuduğum kadarıyla Eulerin probleme yaklaşımı şu şekildeymiş

$x^4+mx^3+nx^2+px+q=0$ polinomunun sıfırdan farklı kökleri  a,b,c,d olsun bu polinomu şöyle yazabiliriz $(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=0$ ve kökleri 0 dan farklı kabul ettiğimiz için bu polinomu $a.b.c.d$ ye bölelersek şu denklemi elde ederiz

$$(1-\frac{x}{a})(1-\frac{x}{b})(1-\frac{x}{c})(1-\frac{x}{d})=0$$  şimdide iyi bilinen  $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$ serisini , yukarıdaki çıkarımı kullanarak ve sinüs fonksiyonunun köklerinin $0\pm \pi,\pm 2\pi$ olduğunu hatırlayarak   $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi}(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...$$ yazabililriz buda iki kare farkı kullanarak   $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^4}{\pi^4})(1-\frac{x^9}{\pi^9})$$ bulunur burdan sonrada soruya şu şekilde yaklaşmış $(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf$ olduğunu biliyoruz dikkat ederseniz $ace$ ifadesi her çarpanın ilk terimlerinin çarpılması ile elde ediliyor benzer şekilde $bdf$ son terimlerin çarpımı bu gözleme dayanarak yukarıdaki ifadeyi $(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}-\frac{1}{16}-...)(\frac{1}{\pi^2})x^2$ ve son olarak $x^2$ katsayısının $-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$ olması gerektiğini düşünerek sonucu bulmuş

Comments

Bence burada dikkat edilmesi gereken hassas bir nokta var.

Soru da sonsuz tane terimin toplamından bahsediyor. Bu ne demek ki? Örneğin son çözümde de ...'lar var. Bunları yaparken biraz daha hassas olmalıyız. Sonsuz tane terimin toplamı için, bir seri toplamı tanımlamalı ve bu toplamı limit kavramıyla yapmalı.

---

Hocam, çözüm benim değil ben sadece rusçadan çevirdim , çözüm euler'in yaptığı 4 çözümden biri  birebir aynı olmasa bile genel hatları ile böyle bir de o faktöriyel (sayıları çarpım olarak göstermiş) ve pi sembollerini kullanmamış (pi yazmış) cevabı yazarken Eulerin yaklaşımı yazdım bugünün bilgisi ile dünü eleştirmek çok da doğru değil kanımca bir de söz konusu olan Euler! 

Answer 2

Net anlatmasi mesakatli bunun da: link atayim.

Comments

https://upload.wikimedia.org/math/f/f/0/ff0ae8f12b6c6ffc0fe0724aabeab4ef.png

nasıl bu şekilde yazabildik? 

---

$\pm \pi$ koku oldugu icin $x \pm \pi$ onu boler. ya da $1 \pm \frac{x}{\pi}$.. Bu sekilde koklerden gelen lineer faktorlerin carpimi.

sonsuz toplamin, sonsuz carpim hali..

Answer 3

burada da 5 farklı kanıt var  

basel-problem.pdf (0,7 MB)

Download the PDF: basel-problem.pdf

Comments

Ali Nesin analiz kitabında "bu eşitlik ilk bulunduğunda yer yerinden oynamıştı" şeklinde bir yorum yapmıştı yanlış hatırlamıyorsam. Kanıtına baktığımda ben de heyecanlanmıştım :)

---

3 ile 4 de ayrı güzelmiş.

Answer 4

Fourier serilerinden