Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

Zeta fonksiyonu ile :

12+34+5...=14


Eşitliğini gösterin.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

1+(2+3)+(4+5)+... ben böyle toplamak istesem ? 

Mesela toplama özgürlüğünün olmadığını mı söylüyor bu soru bize ? 

Veya (12)+(34)+(56)+... bu nasıl pozitif olsun ? 

Ben bu işi böyle toplasam yanlıs mı yapıyorum ? Merak ediyorum sadece yoksa bu toplam bukalemun gibi her renkten oynayan sonsuz bir seri mi?


Hocam aynen yukarıda yaptığınız gibi bu seri bukalemun gibi :)

Sayıları farklı farklı gruplandırdığınızda farklı değerler elde ediyorsunuz.

Özelliklede bu dizi :

11+11+1...

Farklı şekilde gruplandırarak 1 , 1 , 0 , 2 ... gibi değerler elde edebilirsiniz.

Ama bu ve sorudaki seri sonsuz toplamın tanımına göre ıraksaktır.

Anlamadığım birşey daha madem ki seri  ıraksak nasıl yakınsatıyorlar =1/4 demek doğru olur mu  ? Doğru olursa eğer O halde şöylede bir soru sorsak nasıl olur "bu ıraksak seri kaç farklı değer alır" ?


Hocam buraya ve buraya bakabilirsiniz.

Hmm teşekkürler bilgilendirdignz içn

Wikipedia'dan Leonhard Euler'in yazısından 2 alıntı :

"... 12+34+56+... serisi toplamının 14 olduğu söylendiğinde, bunun bir paradoks olması gerekir. Çünkü serinin ilk 100 terimini toplayınca 50 elde ederiz, ilk 101 teriminin toplamı ise 14'ten oldukça farklı olan +51'i verir ve toplanan terim sayısı arttıkça da büyür. Daha önceki çalışmalarımda da gördüm ki, toplam sözcüğüne daha genişletilmiş bir anlam kazandırmamız gerek..."

" ... 12+34+56+... serisi toplamının 14 olduğuna artık şüphe yoktur çünkü seri, değerinin 14 olduğu tartışılmaz olan 1(1+1)2 formülünün açılımından kaynaklanmaktadır. Bu serinin, 1(1+x)2 ifadesinin açılımı olan 12x+3x24x3+5x46x5+... genel serisine x=1 için eşit olduğunun göz önünde bulundurulması, konuyu daha iyi açıklamaktadır."

Evet güzel ifade ettinz hocm teşekkürler

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Serinin terimlerini yazalım ve sonsuz toplam ile ifade edelim.

111121+131141+151...=n=1(1)n1n1

Bu seriyi dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

n=1(1)n1n1=η(1)

Dirichlet eta fonksiyonu ile zeta fonksiyonu arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

(121s)ζ(s)=η(s)

s yerine 1 kolayım.

3ζ(1)=η(1)

Zeta fonksiyonu için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

ζ(n)=Bn+1n+1

Buradaki Bn , n. bernoulli sayısı.

n yerine 1 koyalım.

3ζ(1)=3B22

B2 , 16 dır.

12+34+5...=η(1)=3ζ(1)=14


(1.1k puan) tarafından 
20,331 soru
21,887 cevap
73,623 yorum
3,030,495 kullanıcı