Question

$p^{q}=q^{p}$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,q)$ asalı vardır?

Comments

p=q olmadığını nereden biliyoruz eğer p=q ise sonsuz tane.p$\neq$q ise hiç yok.

---

Neden hic yok kanitlanz ve p ve q farkli asallar

Answer 1

$p^q=q^p$ ise $p=q^{\frac{p}{q}}$ dur. Asal sayilar yalnizca kendileri ile $1$ in carpimina esittir. Yani butun $p$ asal sayilari icin $p=p^1\times1$ den baska yazilis sekli yoktur. $p$ ve $q$ asal sayi oldugundan ussun $1$ olmasi lazim. Buda bize $\frac{p}{q}=1$ den $p=q$ verir

Comments

Mesela: $2=5^{\log_52}$. $p=2,q=5$ oldugunda $\frac25=\log_52$ olamaz mi? ya da baska asallar icin bu denk gelemez mi?

---

$\frac{2}{5}\neq \log_52$

---

ya da baska asal ciftleri icin kismi? ust ($p/q$) bir tam sayi degil, bu sorun teskil etmez mi?

---

$p$ farklı $q$ iken bu asallar şu şekilde ifade edilsin 

Bir asal $4k+1,4k+3$ formlarında iade edilebilir

Bunlardan biri $p$, biride $q$ olsun. $(4k+3)^{4k+1}=(4k+1)^{4k+3}( mod 4)$ incelersek kalanlari farkli olur olmaz birde kalanlari ayni olanlar icin bakmak lazim

Answer 2

1) $p=q$ cozumu bariz cozumu.
2) $p\ne q$ olsun. $p$ asali $p^q$ tam sayisini boldugunden $p$ asali ayni zamandan $q$ asalinin kuvveti olan $q^p$ sayisini bolmeli. Yani $p$ asali $q$ asalini bolmeli. Celiski.

Diger bir cozum: $p,q$ hem asal, hem tam sayi. $\mathbb Z$ halkasi da tek bir sekilde asal carpanlarina ayrilir. $p\ne q$ durumu bununla celisir. cunku $n=p^q$ ve $n=q^p$ olmasi bu durumda imkansizdir.