Question

$A=[0,1]\times [0,1]$ ve $B=[0,1]$ olduğuna göre $|A|=|B|$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$[0,1]$ aralığındaki bir $x$ reel sayısı sonsuz ondalık yazılımla

$x=0,x_1x_2...x_n...$  ;  ( $x_i \in \{0,1,2,...,9\}$)  biçiminde tek türlü yazılabilir..

Bu ondalık açılım ile $f\left( (0,x_1x_2x_3...),(0,y_1y_2y_3...)\right)=0,x_1y_1x_2y_2...$

$f: A \rightarrow B$ fonksiyonunu tanımlayalım. $f(x,y)=f(x^*,y^*)$ ise  $0,x_1y_1x_2y_2...=0,x_{1}^{*}y_{1}^{*}x_{2}^{*}y_{2}^{*}...$  dir. Ondalık açılımın tek türlü belirli olmasından dolayı;

$x_1=x_{1}^{*}$ , $y_1=y_{1}^{*}$ , ...   dır. Ve sonuç olarak $(x,y)=(x^*,y^*)$ elde edilir. Dolayısıyla $f$ birebirdir. Ayrıca $f((0,x_1x_3x_5...),(0,x_2x_4x_6...))=0,x_1x_2x_3x_4...=x$ olduğundan $f$ örtendir. 

Sonuç olarak $A$ dan $B$ ye birebir ve örten bir fonksiyon tanımlanabildiğinden $A$ ve $B$ kümeleri birbirlerine eş güçlüdür. Buradan da $|A|=|B|$ dır..