Question

Rakamları toplamı tabanına eşit olan kaç tane $3$ basamaklı sayı vardır ?@

Answer 1

$(abc)_{x}$ ise a+b+c=x sağlayan kaç a,b,c üçlüsü vardır?

a+b+c=1 'dersek 1 tabanındaki sayılar için durum oluşamaz.

a+b+c=2 dersek (a=1 b=1),(b=1 c=1),(a=1 c=1) olmak üzere 3 durum gelir.

a+b+c=3 dersek (a=1 b=1 c=1),(a=2 b=1 c=0),(a=1 b=2 c=0),(a=1 b=0 c=2) olmak üzere 4 durum gelir.

..

a+b+c=27 dersek farklı dağılımlardan toplamda 28 durum gelir.

O zaman toplamda $\frac{28.29}{2}$-3 tane durum vardır.Yani 403 tane.

Not=Çözümden çok emin olamadım cevap yanlış ise tekrar bakarız.

Answer 2

Taban $x$ ise $x$ bir pozitif tamsayı olmalıdır. Ayrıca;

$1\leq a\leq x-1$,

$0\leq b\leq x-1$,

$0\leq c\leq x-1$, olmalıdır. $x=1$ için istenilen özellikte sayı olmadığı çok açıktır.

$x=2$ için   $1\leq a\leq1$, $0\leq b \leq1$ v e  $0 \leq c \leq1$ olacak ve $1.2.2=4$ tane sayı vardır. Bunlar ise, $(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1) ve (1,1,1)$ dır.

$x=3$ için $1\leq a\leq2$, $0\leq b \leq2$ v$0 \leq c \leq2$  olur. Bu durumda  $2.3.3=18$ tane sayı vardır.

$x=4$ için $1\leq a\leq3$, $0\leq b \leq3$ v$0 \leq c \leq3$  olur. Bu durumda $3.4.4=48$ adet sayı vardır.

Bundan sonrakileri ise $\sum_{x-1=1}^9(x-1).x^2=\sum_{x=2}^{10}(x^3-x^2)= \sum_{x=1}^{9}(x+1)^3-(x+1)^2$

$=\sum_{x=1}^{9}(x^3+4x^2+5x)=[\frac{9.10}{2}]^2+4[\frac{9.10.19}{6}]+5\frac{9.10}{2}=3390$ sayı vardır. 

Ancak bu çözüm taban olan $x$ için $2\leq x\leq10$ için doğrudur. Bilindiği gibi $x\geq10$ olabilir. O zaman bir üst sınır konulursa sonlu sayıda sayı var olacaktır. Ama üst sınır konulmazsa işin bir limit sorusu olduğu açıktır.