Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek

Question

Başlarken makalenin sonuçlarından biri ve bizim de kanıtlamak istediğimiz
Teorem: $\tau\in\mathbb{R}$, $g$ gerçel değerli olduğu, 1. ve 2. koşullar sağlandığı takdirde modelin Hamiltonyen işlemcisi $H_{\tau}(V,g)$'nin bir özeşlenik uzantısı vardır.
'i (tanımlar aşağıda) vermiş olayım.
-------------------------------------------------------------------------------------
Tanım(Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeni): Modelimiz, bir dış potensiyali $V$'nin etkisinde bir serbest Dirac parçacığıyla  ışıma alanının (=fotonlar) ayrı ayrı Hamiltonyenleri $H_D(V)$, $H_{\text{ış}}$ ile  onların asgari etkileşiminin  $H_{l,\tau}(g)$ toplamından ibaret: $H_{\tau}(V,g):=H_D(V)+H_{\text{ış}}+H_{\text{etk},\tau}(g)$.

Tanım(dış potensiyaldaki Dirac parçacığı Ham.): $q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ Dirac parçağının yükü, 4x4 hermitsel matris değerli Borel ölçülebilir $V=(V_{ab})_{a,b=1,..,4}$ göndermesi dış potensiyali betimler. O zaman $H_D(V):=H_D+V$'dir (hem $H_D$ hem de $\vec{\alpha}:=\alpha$ ,$\beta$'nın tanımı için bkz. Dirac işlemcisi).

Tanım(Işıma Ham.): Devinim temsilinde tek-foton durumlarının Hilbert uzayı $\mathcal{H}_{ft}:=L^{2}(\mathbb{R}^{3})\oplus L^{2}(\mathbb{R}^{3})$. Kuantumlanmış ışıma alanının Hilbert uzayı ise bunun simetrik boson Fock uzayı ($\bigotimes_s^{0}\mathcal{H}:=\mathbb{C}$ üzere) $\mathcal{F}_s(\mathcal{H}_{ft}):=\bigoplus_{n=0}^{\infty}\left(\bigotimes_s^{n}\mathcal{H}_{ft}\right)$ olarak seçilir. $\omega$ $\mathbb{R}^{3}$ üzerine negatif olmayan Borel ölçülebilir bir gönderme olsun. $\hbar\omega$ o zaman bir serbest foton energisini tanımlar.

Sav: Hemen her yerde $\vec{k}\in\mathbb{R}^{3}$ $\mathbb{R}^{3}$ üzerindeki Lebesgue ölçüsüne göre $0<\omega(\vec{k})<\infty$. O halde  $\omega$ biricik bir negatif olmayan, özeşlenik ve birebir bir çarpım işlemcisini tanımlar (bunu da $\omega$ ile gösterelim).
Tanım(Işıma Ham.): Kuantumlanmış ışıma alanının  Hamiltonyeni $H_{\text{ış}}:=d\Gamma(\omega)$ olarak tanımlanır (ikinci kuantumlama işlemcisi $d\Gamma$ ve $a(F)$ için bkz. İkinci kuantumlama da neyin nesidir?). Basit bağlantılı olmayan $M_0:=\mathbb{R}^{3}\setminus \{(0,0,k_3)\vert k_3\in\mathbb{R}\}$ üzerinde  $s,r=1,2$ ve $\forall\vec{k}\in M_0$ için $\vec{e}^{(r)}(\vec{k})\cdot \vec{e}^{(s)}(\vec{k})=\delta_{rs}$, $\vec{e}^{(r)}\cdot \vec{k}=0$'yi sağlayan  $\mathbb{R}^{3}$ değerli sürekli göndermeler $e^{(r)}$  vardır. $\forall k_3\in\mathbb{R}:\vec{e}^{(r)}(0,0,k_3):=0$ olsun. O zaman $\vec{e}^{(r)}$ göndermelerine bir fotonun kutuplanması (polarizasyonu) denir. $g\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$ ise, her $\vec{x}\in\mathbb{R}^{3}$ ve $j=1,2,3$ için $\mathcal{H}_{ft}$'nin bir $g_j^{\vec{x}}$ elemanını $g_j^{\vec{x}}(\vec{k}):=(g(\vec{k})e_j^{(1)}(\vec{k})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}},g(\vec{k})e_j^{(2)}(\vec{k})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}})^{T}\in\mathbb{C}^{2}$ diye tanımlayabiliriz. Not: $g$ burada fotonların devinim kesinti sınırı (sıklıkla  alanın, morötesi ışıma davranışını -fiziksel bulgulara uygun bir şekilde- düzeltmek için eklenir).
Tanım(Segal alan işlemcisi): Test fonksiyonu $F\in \mathcal{H}_{ft}$ olmak üzere $a(F)$ ile yoketme işlemcisi gösterilsin.  Segal alan işlemcisi
$\Psi_S(F):=\frac{\bar{a(F)+a(F)^{*}}}{\sqrt{2}}$ ($\bar{T}$ ile işlemcinin kapanışı gösterilir).
Sav: $\Psi_S$ özeşleniktir.
Soru: Bunu gösterebilirmisiniz?
Tanım(Işıma Ham.): O zaman da kuantumlanmış ışıma alanı $\vec{A}^{g}(\vec{x}):=(A_1^{g}(\vec{x}),A_2^{g}(\vec{x}),A_3^{g}(\vec{x}))^{T}$ $A^{g}_j(x):=\Phi_S(g_j^{x})$ olarak tanımlanır.

Tanım(Etkileşim Ham.): Birleşik sistemin Hilbert uzayı $\mathcal{F}:=\mathcal{H}_D\otimes\mathcal{F}_{\text{ış}}$.
Sav: $\mathcal{F}=L^{2}(\mathbb{R}^{3};\bigoplus^{4}\mathcal{F}_{\text{ış}})=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}\bigoplus^{4}\mathcal{F}_{ış} d\vec{x}$ (-$(\mathbb{R}^{3},d\vec{x})$ taban uzaylı, $\bigoplus^{4}\mathcal{F}_{\text{ış}}$ lifli- sabit lif doğrudan tümlevi).
Ek ek ek alıştırma: Bunu gösterin/anlamlını açıklayın (çok ürkütücü!).
Tanım(Etkileşim Ham.): $\tau\in\mathbb{R}$ sabit. $\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathcal{H}_{ft},$ $\vec{x}\mapsto g_j^{\tau \vec{x}}$ göndermesi  kuvvetli sürekli olduğundan $\Rightarrow$ $\mathcal{F}$'de  ayrışabilir, özeşlenik bir işlemci tanımlayabiliriz:
$A_j^{g,\tau}:=\int_{\mathbb{R}^{3}}^{\oplus}A_j^{g}(\tau\vec{x})d\vec{x}$
Soru: Nasıl oluyor da kuvvetli sürekli? Neden ok?
Tanım(Etkileşim Ham.): Asgari etkileşim Hamiltonyeni $H_{\text{etk},\tau}(g):=-q\vec{\alpha}\cdot A^{g,\tau}$ olarak tanımlanır.

Koşul 1: $g,\frac{g}{\sqrt{\omega}}\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})$
Koşul 2: $\forall a,b\in\{1,...,4\}: V_{ab}\in L^{2}(\mathbb{R}^{3})_{loc}:=$ $\{f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{C}, \text{Borel ölçülebilir } \vert\ \int_{\vert x\vert\leq\mathbb{R}}\vert f(\vec{x})\vert^{2}d\vec{x}<\infty \forall R>0\}$

Sav: $\vec{x}\in\mathbb{R}^{3}$, $f(\vec{x})\in\mathcal{H}_D$ üzerinde karmaşık eşlenti $(C_Df)(x):=\bar{f(\vec{x})}$ aracılığıyla sağlanıyorsa, $U_C^{2}=1\!\!1$, $U_CC_D=C_DU_C$, $j=1,2,3$ için $U_C^{-1}\alpha_jU_C=\bar{\alpha}_j$ ve $U_C^{-1}\beta U_C=-\bar{\beta}$
özelliklerine sahip bir 4x4 üniter matris vardır.

Soru: Bunu gösterebilir misiniz?  

devamı:Göreceliliksel k.e.d. parçacık-alan Hamiltonyeninin özeşlenikliğini gösterebilmek-2