Question

$$\Xi_1(n,m,p)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{\sqrt[p]{1+x^m}}\:dx$$  

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\Xi_1(n,m,p)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{\sqrt[p]{1+x^m}}\:dx$$

İntegrali kısmi türev ile yazabiliriz.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial^n}{\partial{s}^n}\int_0^\infty\frac{x^s}{\sqrt[p]{1+x^m}}=\Xi_1(n,m,p)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{\sqrt[p]{1+x^m}}\:dx$$

$u=\frac{1}{1+x^m}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial^n}{\partial{s}^n}\frac{1}{m}\int_0^1\:u^{\frac{1}{p}-\frac{1}{m}-\frac{s}{m}-1}\:(1-u)^{\frac{1}{m}+\frac{s}{m}-1}\:du$$

İntegrali beta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial^n}{\partial{s}^n}\frac{1}{m}B\bigg(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}-\frac{s}{m},\frac{1}{m}+\frac{s}{m}\bigg)$$

Beta fonksiyonunu gama fonksiyonu ile yazabiliriz , bundan sonra herhangi bir sadeleştirme yapamayız.(Yapabilen varsa yorum olarak yazsın.)

$$\color{#A00000}{\boxed{\Xi_1(n,m,p)=\int_0^\infty\:\frac{\ln^n(x)}{\sqrt[p]{1+x^m}}\:dx\\=\lim\limits_{s\to0}\frac{\partial^n}{\partial{s}^n}\,\frac{1}{m\,\Gamma(p^{-1})}\Gamma\bigg(\frac{1}{m}+\frac{s}{m}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{1}{p}-\frac{1}{m}-\frac{s}{m}\bigg)}}$$