Question

$a+b+c=abc=6$ sartini saglayan rasyonel sayi uclulerinin sonsuz coklukta oldugunu gosteriniz.

Ek: Mumkunse eliptik egriler kullanilmasin, daha elementer yontem tercihen.

Answer 1

önce $a+b+c=abc$ eşitliğine bakalım her tarfı abc ile bölerek $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=1$$ elde ederiz bundan sonra $$tan(\frac{x}{2})an(\frac{y}{2})+tan(\frac{x}{2})an(\frac{z}{2})+tan(\frac{y}{2})an(\frac{z}{2})=1$$ olduğundan   $$\frac{1}{a}=tan(\frac{x}{2}) \ yada \ a={cot(\frac{x}{2})}$$ dönüşümü yapılabilir x,y,z bir üçgenin açıları olmak üzere, şimdi denklemin ikinci kısmını kullanalım $abc=6$ ise  $cot(\frac{x}{2})cot(\frac{y}{2})cot(\frac{z}{2})=6$ olur $cot(\frac{x}{2})cot(\frac{y}{2})cot(\frac{z}{2})=cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})$ olduğunu biliyoruz $$cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})=6 \ denklemi \ elde \  edilir.$$ yine $cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})\geq 3\sqrt3$ (jensen) olduğunuda biliyoruz. Öyle ise elde edilen denklemin çözümü var, fonksiyonlar periyodik çözüm sonsuz tane

Comments

Periodik değerler için aynı $a,b,c$ degerlerl ni elde etmez miyiz?

---

tek bir değişken olsa dediğiniz doğrudur ama üç değişken için çözüm sonsuz adet

---

hangi fonksiyonlar periodik? $a=\cot(\frac x2+k\pi)$, $a$ degerini degistirmiyor? Ayni zamanda $b$ ve $c$'yi de?