En büyük gerçel sayı değeri

Question

$xy + yz + zx = 1$ ve $x,y,z ≥ 0$ koşullarını sağlayan her $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü, $1+\frac{z}{x+y}\geq K\cdot(1+z^{2})$ eşitsizliğini de sağlıyorsa, $K$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer nedir?

A-)0

B-)1

C-)$\frac{9}{8}$

D-)$\frac{2}{\sqrt{3}}$

E-)Hiçbiri

Not=2015 Tübitak Matematik Olimpiyatları 23.Sorusu

Comments

$z=0,x=y=1$ alırsak $0\geq K$ gelir. Aynı zamanda sol taraf her zaman pozitif, $K=0$ hepsi için eşitliği sağlar ve ilk eşitsizlikten dolayı maksimum olur.

---

Cevap 1 gösteriyor hocam.

---

Yukarıda $1+$ varmış. Onu şimdi gördüm. O zaman üst sınır $1$ olur. İkinci kısmı düzeltmek gerekir.

---

ben cevabı 1 den büyük bir sayı buluyorum işlem hatası yapmış olabilirim ama yinede cevabın 1 den büyük olduğunu düşünüyorum

---

$1 \geq K$ olmali zaten. Asagidaki cevabimda hata yoksa. 

---

Çözümüm uzun olmasa latex ile yazmayı deneyebilirim ama çözümüm uzun ama 1 den daha büyük değerler elde edilebildiği sayılar deneyerekte bulunabilir sanırım 1/2, 1/2 ve 3/4 yanılmıyorsam sağlıyor ve 1 den büyük çıkıyor sonuç

---

Fakat her $x,y,z$ icin diyor.

---

Çözümünüzün fotografını çekip özel mesaj olarak atabilir misiniz?Yazılamaycak derecede uzun bir şeyse.

---

ben sadece 1 den daha büyük olduğunu gösterebilmek için herhangi bir sayı koydum yoksa çözümde sayı denemedim 

Answer 1

$z=0,x=y=1$ icin $1\geq K$. Simdi $K=1$ durumunu inceleyelim. Bu durumda $1 \geq z(x+y)$ olmali. Bu da verilen esitsizlikten dogru. Demek ki $K$'nin en buyuk degeri $1$ imis.

Answer 2

e1.bmp (0,2 MB)

e2.bmp (0,2 MB)

Answer 3

İşlemler çok uzun olduğu için latex ile yazamayacağım ama trigomometrik değişken değiştirme haricinde ikinci bir çözüm yolu da şöyle

$K\leq \frac{x+y+z}{(x+y)(1+z^2)}=\frac{x+y+z}{(x+y)(xy+yz+xz+z^2)}=$ $\frac{x+y+z}{(x+y)(x+z)(x+z)}$ bundan sonra kesrin  paydası için $A.0\geq GO$ yazılır ve REI ile $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz=1$ uygulanırsa buradanda sonuç 9/8 çıkıyor  trigonometrik çözümle aynı Cevap anahtarını bende kontrol ettim kitapçıkları karıştırmış olmaları kuvvetle muhtmel çünkü kitapçıklar değişince cevap 9/8 olduğu görülülüyor. zaten söyledikleri cevaptan daha büyük cevap elde edilebildiği sayı koyarak görülebilir.

Comments

$K=\frac 98$ osun. O zaman $(x,y,z)=(1,1,0)$ icin bu esitsizligin saglanmasi gerekecek.  Verilen esitsizlik $1 \geq \frac98$ oluyor?

---

daha önceden de uyurmışsınız farketmedim, sorunun çözümü 0 dahil pozitif reel sayılar için soruluyormuş. Benim yaptığım her iki çözümde pozitif reel sayılar içindi.