$2^{23}+14!$ sayısının ondalık yazılımı $87A86B79808$ ise $A\cdot B$ kaçtır?

Question

$2^{23}$+14! sayısının ondalık yazılımı 87A86B79808 ise A.B kaçtır?

Not=2014 Tübitak Matematik Olimpiyatlarının 22.sorusu

Comments

Elle hesaplamasi hizli. $87\boxed186\boxed679808$. 

Hele ki: $2^{20}=1048576$ oldugu biliniyorsa, bunu neden biliyorum emin degilim ama aklimda kalmis.

---

Çok manuel bir çözüm olmuş :)

---

insanin aklina boyle (yari-hizli) bir cozum gelince, sonrasinda hos cozumler aklina gelmiyor. Bakalim belki guzel bir cozumu vardir, bakalim gorelim, ondan benim tirt cozumumu yorum olarak yazdim :)

---

http://www.tubitak.gov.tr/tr/olimpiyatlar/io-matematik-olimpiyatlari/icerik-ilkogretim-matematik-olimpiyati-sorulari

Bu tip soruların meraklıları için.

---

Aklıma ilk olarak ifadeyi mod $9$ ve mod $11$,$7$ de incelemek geldi.

---

guzel fikirmis.

Answer 1

$$2^{23}+14!=(-1)^{23}+14!=-1(mod3)$$ o Halde   $$87A86B79808=(A+B+1)(mod3)$$ dir. Buradan 

$$A+B+1=2 \Rightarrow A+B=1(mod3)$$ . Buradan  $$A+B=\{1,4,7,10,13,16\}..................(*)$$ olur. Diğer taraftan $$2^{23}+14!=5(mod9)$$ olduğundan $$87A86B79808=(A+B+7)(mod9)$$ olmalı ve  

$$A+B+7=5 \Rightarrow A+B=7(mod9)....................(**)$$ olmalıdır.

(*) ve (**) dan $$A+B=7$$ den (A,B)= (0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0) $$

$$AB=0,6,10,12$$ ya da $$A+B=16$$ dan  $$AB=63,64$$ olur.

Answer 2

$2^{23}$ sayisini $9$ ve $11$ modunda incelersek $2^{23}=5 (mod 9)$ ve $2^{23}=8 (mod 11)$ olur. $14!$ ifadesi zaten ikisine de kalansiz bolundugu icin bir nevi etkisiz eleman. O halde $87A86B79808=7+A+B=5 (mod 9)$ ve $87A86B79808=14+A-B=8 (mod 11)$ olmalidir. Bu durumda $A+B=7$ veya $A+B=16$'ya esit olacak ve $A-B=-6$ veya $A-B=5$ olacaktir. Bu olasiliklar icerisinde saglanan tek $(A,B)$ ikilisi $(1,6)$ oldugundan $A.B=6$ olmalidir.

Comments

Bu arada cozumu telefondan yazdigimdan denklik yerine esitlik kullandim kusura bakmayin :)