Beta fonksiyonunu, Gama fonksiyonu cinsinden ifade etmek

Question

$x$ ve $y$ gerçel kısımları pozitif olan karmaşık sayılar olmak üzere, Beta fonksiyonu, $$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$ Gama fonksiyonu, $$\Gamma(x,y)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$$ olarak tanımlanır. Gösteriniz ki, bu iki ilginç fonksiyon arasında $$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$ şeklinde bir ilişki vardır.

Comments

aynısını sormayı düşünüyodum 

---

Önce davranmışım :) Birazdan sizin sorduğunuz bir soruda bunu kullanacağım.

---

Buradaki çözüm işinize yarayacaktır.

---

Orada bu eşitlik kullanılıyor, ispatlanmıyor sanırım.

---

Linkteki en son integrale bir iki değişken değiştirmeyle aşağıdaki integralin bulunabilmesi lazım.(?)

$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

---

Ben bunu tanım olarak verdim zaten. Sorduğum şey, yukarıdaki şekilde tanımlanan iki integral değeri arasındaki bir ilişki.

---

aslında, bertanin sorunda var ama gerek yok onu çözmek için. ben tersten yürüdüm değişiklik olsun diye aynı işlemlerle. 

Answer 1

gamma fonksiyonununda, $t=r^2$ dönüşümü yaparak

$\Gamma \left( n\right) =2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2n-1}dr$

ve beta fonksiyonunda, $t=sin^2\theta$ dönüşümü yaparak

$B\left( p,q\right) =2\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta$,  ($p,q<0$)

gamma fonksiyonunda, $n=q+p$ yazıp, elde edilenleri çarparsak, 

$B\left( p,q\right) \Gamma \left( q+p\right)=4\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2p+2q -1}dr\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta$

ve bu aşamada, $x=rsin\theta$ ve $y=rcos\theta$ dönüşümleri yaparsak, sağdaki integralin sınır değerleri, $x/y=tan\theta$ dan, dolayı $0$ dan, $\infty$ a olduğu görülür. ayrıca, $dxdy=rdrd\theta$.

$4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }y^{2p-1}x^{2q-1}dxdy=\Gamma \left( q\right) \Gamma\left( p\right)$  olduğu görülür, ilk eşitliği kullanarak.

Comments

ayrıca, beta fonksiyonu, tanımın ve sorulan eşitlikte simetrik,