gamma fonksiyonununda, t=r2 dönüşümü yaparak
Γ(n)=2∫∞0e−r2r2n−1dr
ve beta fonksiyonunda, t=sin2θ dönüşümü yaparak
B(p,q)=2∫π20sin2p−1θcos2q−1θdθ, (p,q<0)
gamma fonksiyonunda, n=q+p yazıp, elde edilenleri çarparsak,
B(p,q)Γ(q+p)=4∫∞0e−r2r2p+2q−1dr∫π20sin2p−1θcos2q−1θdθ
ve bu aşamada, x=rsinθ ve y=rcosθ dönüşümleri yaparsak, sağdaki integralin sınır değerleri, x/y=tanθ dan, dolayı 0 dan, ∞ a olduğu görülür. ayrıca, dxdy=rdrdθ.
4∫∞0∫∞0e−(x2+y2)y2p−1x2q−1dxdy=Γ(q)Γ(p) olduğu görülür, ilk eşitliği kullanarak.