Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
4.5k kez görüntülendi

x ve y gerçel kısımları pozitif olan karmaşık sayılar olmak üzere, Beta fonksiyonu, B(x,y)=10tx1(1t)y1dt

Gama fonksiyonu, Γ(x,y)=0ettx1dt
olarak tanımlanır. Gösteriniz ki, bu iki ilginç fonksiyon arasında B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)
şeklinde bir ilişki vardır.

Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 4.5k kez görüntülendi

aynısını sormayı düşünüyodum 

Önce davranmışım :) Birazdan sizin sorduğunuz bir soruda bunu kullanacağım.

Buradaki çözüm işinize yarayacaktır.

Orada bu eşitlik kullanılıyor, ispatlanmıyor sanırım.

Linkteki en son integrale bir iki değişken değiştirmeyle aşağıdaki integralin bulunabilmesi lazım.(?)

B(x,y)=10tx1(1t)y1dt

Ben bunu tanım olarak verdim zaten. Sorduğum şey, yukarıdaki şekilde tanımlanan iki integral değeri arasındaki bir ilişki.

aslında, bertanin sorunda var ama gerek yok onu çözmek için. ben tersten yürüdüm değişiklik olsun diye aynı işlemlerle. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

gamma fonksiyonununda, t=r2 dönüşümü yaparak

Γ(n)=20er2r2n1dr

ve beta fonksiyonunda, t=sin2θ dönüşümü yaparak

B(p,q)=2π20sin2p1θcos2q1θdθ,  (p,q<0)

gamma fonksiyonunda, n=q+p yazıp, elde edilenleri çarparsak, 

B(p,q)Γ(q+p)=40er2r2p+2q1drπ20sin2p1θcos2q1θdθ

ve bu aşamada, x=rsinθ ve y=rcosθ dönüşümleri yaparsak, sağdaki integralin sınır değerleri, x/y=tanθ dan, dolayı 0 dan, a olduğu görülür. ayrıca, dxdy=rdrdθ.

400e(x2+y2)y2p1x2q1dxdy=Γ(q)Γ(p)  olduğu görülür, ilk eşitliği kullanarak.


(621 puan) tarafından 

ayrıca, beta fonksiyonu, tanımın ve sorulan eşitlikte simetrik,

20,331 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,034,659 kullanıcı