${\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} B(x,y)=.....}$ eşitliğini kanıtlayın

Question

${\large B(x,y)}$ Beta fonksiyonu

${\large \psi(x)}$ Digama fonksiyonu

${\large \psi_1(x)}$ Trigama fonksiyonu    olmak üzere ;

${\large\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x} B(x,y)=}$

${B(x,y)\huge(\Large(\large\psi(x)-\psi(x+y)\Large)\large\Large(\large\psi(y)-\psi(x+y)\Large)\large-\psi_1(x+y)\huge)}$

eşitliğini kanıtlayın.

Answer 1

Öncelikle şu eşitlikleri yazalım :

$${\large\psi(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(\Gamma(x))=\dfrac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)}}$$

$${\large\psi(x)\Gamma(x)=\Gamma^{'}(x)}$$

$${\large\psi_1(x)=\dfrac{d}{dx}\psi(x)=\dfrac{d^2}{dx^2}\ln(\Gamma(x))}$$

$${\large B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$$

Şimdi kısmi türevleri bulalım.Önce ${x}$'e göre kısmi türevi bulalım.${\Gamma(y)}$'yi burada sabit bir sayı olarak kabul edebiliriz.Pay ve paydada x'li bir fonksiyon olduğundan bölümün türevini alabiliriz.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\Gamma^{'}(x)\Gamma(x+y)-\Gamma^{'}(x+y)\Gamma(x+y)}{\Gamma^2(x+y)}}$$

Şimdi en başta verdiğimiz eşitliklere göre ; ${\Gamma^{'}(x)}$ yerine ${\psi(x)\Gamma(x)}$ , ${\Gamma^{'}(x+y)}$ yerinede ${\psi(x+y)\Gamma(x+y)}$ yazalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\psi(x)\Gamma(x)\Gamma(x+y)-\psi(x+y)\Gamma(x+y)\Gamma(x)}{\Gamma^2(x+y)}}$$

Pay kısmını ortak paranteze alalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\Gamma(y)\dfrac{\Gamma(x+y)\Gamma(x)(\psi(x)-\psi(x+y))}{\Gamma^2(x+y)}}$$

Sadeleştirmeleri yapalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$

${\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}$ yerine${B(x,y)}$ yazalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))}$$

Olarak buluruz.Aynı şekilde kısmi türevi sadece ${y}$ içinde alsaydık bunu bulurduk :

$${\large\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=B(x,y)(\psi(y)-\psi(x+y))}$$

Şimdi ${x}$'e göre aldığımız kısmi türevin ${y}$'ye göre kısmi türevinide alalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))}$$

Sağ taraftaki kısmi türevi , türevin çarpım kuralı ile yazalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=(\psi(x)-\psi(x+y))\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)+B(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$

${\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)}$ ifadesini eşitini yukarıda yazmıştık , yerine yazalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=}$$

$${\large B(x,y)(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))+B(x,y)\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))}$$

${B(x,y)}$ parantezine alalım.

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=}$$

$${\large B(x,y)\huge(\large(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))+\dfrac{\partial}{\partial y}(\psi(x)-\psi(x+y))\huge)}$$

Parantezin içinde en sağ taraftaki kısmi türevi bulalım.Türev ${y}$'ye göre olduğundan ${\psi(x)}$ ifadesini atabiliriz.${\psi(x+y)}$ ifadesinin kısmi türevinide yukarıda verdiğim trigama fonksiyonu ile ${\psi_1(x+y)}$ olarak yazabiliriz ve sonucu :

$${\large\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}B(x,y)=B(x,y)\huge(\large(\psi(x)-\psi(x+y))(\psi(y)-\psi(x+y))-\psi_1(x+y)\huge)}$$

olarak buluruz.