$\int_0^\infty\:e^{-x}\:\ln x\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^\infty\:e^{-x}\:\ln x\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

Gama fonksiyonunun tanımı şöyledir :

$$\Gamma(x)=\int_0^\infty\:t^{x-1}\:e^{-t}\:dt$$

Gama fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevini bulmaya çalışalım.

$$\frac{d}{dx}\Gamma(x)=\Gamma^{'}(x)=\int_0^\infty\:t^{x-1}\:e^{-t}\:\ln \,t\:dt$$

$$\Gamma^{'}(1)=\int_0^\infty\:e^{-t}\ln\,t\:dt$$

İntegralin değerini bulduk.Şimdi $\Gamma^{'}(1)$ değerini bulmaya çalışalım.

Digama foksiyonu için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

$$\psi(x)=\frac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)}$$

$x$ yerine $1$ koyalım.

$$\psi(1)=\frac{\Gamma^{'}(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma^{'}(1)$$

$\psi(1)=-\gamma$ olduğunu biliyoruz.($\gamma$ euler-mascheroni sabiti)

$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int_0^\infty\:e^{-t}\ln\,t\:dt=-\gamma}}$$