$p=a^2+b^2 \: \: (a,b \in \mathbb Z) \iff p \equiv 1 \mod 4$

Question

Ispatlayiniz: Tum asal $p \ne 2$ icin $$p=a^2+b^2 \: \: (a,b \in \mathbb Z) \iff p \equiv 1 \mod 4.$$

Comments

a $\neq$ b için mi?

---

$a=b$ için $p$ asal olmaz zaten.

---

Şafak Özden'in grup kohomoloji serisinde yaptigi gibi sorularıni numalandirsan? 3 cevap var, ama hiçbiri $\mathbb{Z}[i]$'yi kullanmıyor. Ama bundan önceki sorulara bakarsak istedigin kanıt o kanıt.

---

Biraz daha sorayım da, kitap ünitesi diye ekleyecem bunları başka bir başkıkta. Algebraic Number theory, Neukirch. Bunlar kitapbın girişinde Gaussian integer başlığı altında. İlk numarayı bunlar alacak.

Answer 1

p $\equiv$ 1(mod 4)

p-1 $\equiv$ 0(mod 4)

p+3 $\equiv$ 0(mod 4) $\rightarrow$  p =1,5,9,13...

yani p = 4n+1  

dolayısıyla p= $a^{2}$ + $b^{2}$ $\equiv$ 1 (mod 4) olur. 

Tabii ki buradan başka bir soru ortaya çıkar:

$a^{2}$ + $b^{2}$ eşit midir (4n+1)'e 

henüz bulamadığım kısım bu

Comments

Bu cevabı yoruma çevirebilirsiniz, çünkü cevap değil.

Answer 2

$(\Rightarrow)$

$p$ , $2$ disindaki asallar ise tektir. $p=a^2+b^2$ tek olması için $a$ veya $b$ den biri tek biri çift olmali.

Diyelim ki $a=2k$ ve $b=2t+1$ olsun. ($k,t$ herhangi tamsayilar)

$p=a^2+b^2=(2k)^2+(2t+1)^2=4k^2+4t^2+4t+1=4(k^2+t^2+t)+1$

Yani $p\equiv 1(mod4)$ tur.

$(\Leftarrow)$ 

$p\equiv 1(mod4)$ ise $p=4m+1$ ($m$ herhangi bir tamsayi) seklinde yazilabilir. $m$ yi $m=k^2+l^2+l$ ($k$ ve $l$ tamsayilar) olarak secelim.

$p=4m+1=4(k^2+l^2+l)+1=4k^2+4l^2+4l+1=(2k)^2+(2l+1)^2$ elde edilir. $\square$

Comments

$(\Leftarrow)$

$p\equiv 1(mod4)$ ise $p=4m+1$  , m yi de $m=k^2+l^2+l$ seçersek ($l$ ve $k$ tamsayı)

$p=4(k^2+l^2+l)+1=4k^2+4l^2+4l+1=(2k)^2+(2l+1)^2$

---

Tesekkur ederim ece :)

---

$m$ o şekilde yazılmak zorunda mı peki?

---

$m$ nin parcalariyla iki tam kare elde etmek adina bu tip bir tamsayi olması gerektiğini düşünüyorum ben..

---

Evet, oyledir. Lakin ispatlamak istenilen kabul edilip ispat yapilmis oluyor su an.

---

Buradaki sav da $p$ asalinin $a^2+b^2$ tipinde olması için gerek ve yeter sartin $p$ asalinin $4m+1$ fomunda olması gerektiğini göstermeye calisiyoruz..yani yeter şartta gerek kosulu saglar tipteki $m$ lerin varligini ve formunu göstermek kanit için yeterli değil mi? 

---

Tamam da $m$ öyşe parçaya ayrılabiliyor mu? Hem burda asallık da kullanılmıyor, bu da düşünülmesi gerek..

---

İste burda haklisin hocam...kanitima inanıyorum sonuna kadar ama asallikla ilgili bi cikarimi olmadi yeter durumda orada benim de soru işaretlerim var...bu tipteki $p$ sayisi her daim asal olamayabilir..

---

Bence kanitini da bi gozden gecirmek lazim: Kullanilan arac su: her $m$ sayisi $k^2+l^2+1$ seklinde yazilabilir. (ya da her $4m+1$'i asal yapan $m$ sayisi icin.) Sorum su: Bu dogru mu peki? Bunu ispatlarsan kanit bitmis olur. Belki de yanlis. 

---

Söyle ki $p\neq 2$ olan asallar olarak aliniyor. Bu durumda asallarimiz tek..her tek sayi $4m+1$ veya $4m+3$ formunda ifade edilir...($\Leftarrow$) deki kabulumuz $p=4m+1$ formunda bir asal olduğu. Bu asallari $m=k^2+l^2+l$ tipindeki $m$ tamsayilari ile ifade edebiliriz. Cunku $k$ ve $l$ herhangi tamsayi..her $4m+1$ formundaki asalda $m$ yi $k^2+l^2+l$ tipinde yazabiliriz...

Benim kafam basta zaten $p$' yi asal aliyoruz a dikkat etmediğim için karismisti. $p$ zaten $4m+1$ tipinde bir asal..$m$' nin $p$' yi her asal yapan değerini $k^2+l^2+l$ formunda elde edebilirim. $k$ ve $l$ keyfi seçiliyor..

---

Hocam senin beklediğin kanit çok farkli bir yaklasimdan gelecek... algebraic number theory (neukirch) indirdim... Algılamaya calisiyorum...o.O

---

lakin daha da ispatlamadin bunu. Bende soyle diyeyim o zamam: $p$'yi $a^2+b^2$ selkinde yaziyorum, $a,b$ keyfi.. inandin mi bana :)

---

Ordan daha cok soru soracam, indirdigin iyi olmus. Sonra da bunlari birlestirip ayri bir unite basligi dusunuyorum.

---

İnanmadim :) ben biraz susayim...:)