${\int erf(x)dx=x\:erf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}}$ eşitliğini kanıtlayın

Question

${erf(x)}$ hata fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\int erf(x)dx=x\:erf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}}$$

Eşitliğini kanıtlayın.

Answer 1

${erf(x)}$ fonksiyonunun tanımı :

$${erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^xe^{-t^2}dt}$$

İntegralimiz :

$${\int erf(x)dx}$$

${erf(x)}$ yerine yukarıdaki eşitliği yazalım.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\int_0^xe^{-t^2}dtdx}$$

${\int_0^xe^{-t^2}dt=u}$ ve ${dx=dv}$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg[x\int_0^x e^{-t^2}dt-\int x\:e^{-x^2}dx\bigg]}$$

${1.}$ integrali yerine ${x\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)}$ yazalım.

${2.}$ integralde ${x^2=\omega}$ dönüşümü yapalım ve integrali bulalım.

$${\frac{2}{\sqrt{\pi}}\bigg[x\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)+\frac{1}{2}e^{-x^2}\bigg]}$$

Sadeleştirelim.

$${\large\int erf(x)dx=x\:erf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}+c}$$

Comments

$+c$                       

---

Ekledim hocam :)

---

birde $1=dv$ değilde $dx=dv$ olacak