x+y+z=0 olduğundan şu eşitlikleri yazarak faydalanalım
x+y=−z
(x+y+z)2=0⟹x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)=0
⟹x2+y2+z2=−2(xy+xz+yz)
(x+y)3=−z3⟹x3+y3+3xy(x+y)=−z3⟹x3+y3+z3=−3xy(x+y)
⇒
x3+y3+z3=3.x.y.z (x+y=-z)
binomal teoremde simetri oldugundan kırılma noktasına eşit uzaklıktaki binomal terimleri ortak 2liler şeklinde yazabiliyoruz Örnek linik
bu örnekteki çok alakadar değil ama şunu anlamağa yeter.
(x+y)n binomunda birbirine (nn−j)=(nj) tarzı eşitliklerden doğan parantezler olucaktır.
(x+y)n=xn+(n1)xn−1.y+(n2)xn−2.y2+........+(nn−2)x2.yn−2+(nn−1)x.yn−1+yn
(x+y)n=xn+yn+(n1)x.y.(xn−2+yn−2)+(n2)(x.y)2.(xn−4+yn−4)+........
gibi gibi buradan yola çıkarak
(x+y)5=x5+y5+10(x.y)2.(x+y)+5(x.y)(x3+y3)
(x+y)7=x7+y7+35(xy)3(x+y)+21(xy)2(x3+y3)+7(xy).(x5+y5)
bir köşede dursun (x+y)5=−z5 den başlayalım x3+y3+z3=3xyz yi kullanalım
(x+y)5=−z5=x5+y5+10(xy)2(−z)+5(xy)(3xyz)=x5+y5−5x2.y2.z düzenlersek
x5+y5+z5=−5.x2.y2.z ve x3+y3+z3=3xyz yi kullanarak (x+y)7 yi bulalım;
(x+y)7=−z7=x7+y7−35x3.y3.z+21.3.x3.y3.z−35.x3.y3.z=−7.x3.y3.z
⇒
x7+y7+z7=7.x3.y3.z olur.
hatta ilginç birşekilde x+y+z=0 için x9+y9+z9=−9.x4.y4.z diyebiliriz
Soruya dönersek http://matkafasi.com/69572/binomal-teoreme-yaklasim-1-soru-degildir bu linkteki
son eşitlikleri yazarsak;
sadece ispatladığım eşitliği kullanıcağım;
x2+y2+z2=−2(xy+xz+yz)
3(x5+y5+z5)=(−1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)
3(x7+y7+z7)=1.(7)(xyz)(x2.y2+y2.z2+x2.z2)
bunlara ek şunu bilmeliyiz
(xy+xz+yz)2=x2.y2+x2.z2+y2.z2+2(xyz)(x+y+z) (x+y+z=0) biliniyor
(xy+xz+yz)2=x2.y2+x2.z2+y2.z2 olur
yerlerine koyarsak −2(xy+xz+yz)2.(−1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)3.5=1.(7)(xyz)(x2.y2+y2.z2+x2.z2)3.7
düzenlersek eşitlik sağlanır. ◻