Question

$$\cot \pi x=\dfrac {2x} {\pi }(\dfrac {1} {2x^{2}}+\dfrac {1} {x^{2}-1^{2}}+\dfrac {1} {x^{2}-2^{2}}+\dots)$$ olduğunu gösterin.

Answer 1

Bağlantısından, $$\displaystyle\frac{\text{sin}(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty}\Big(1-\frac{x^2}{n^2}\Big)$$ olduğunu biliyoruz. Her iki tarafın logaritmasını alalım: $$\text{log}\bigg(\frac{\text{sin}(\pi x)}{\pi x}\bigg)=\text{log}\bigg(\prod_{n=1}^{\infty}\Big(1-\frac{x^2}{n^2}\Big)\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\text{log}\Big(1-\frac{x^2}{n^2}\Big).$$ Şimdi her iki tarafın türevini alalım: $$\frac{\pi x}{\text{sin}(\pi x)}\Big(\frac{\text{cos}(\pi x)}{x}-\frac{\text{sin}(\pi x)}{\pi x^2}\Big)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-2x}{n^2\Big(1-\frac{x^2}{n^2}\big)}.$$ Gerekli düzenlemeleri yapalım: $$\pi\text{cot}(\pi x)-\frac{1}{x}=-2x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-x^2},$$ diğer bir deyişle $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-x^2}=\frac{1}{2x^2}-\frac{\pi\text{cot}(\pi x)}{2x}.$$

Comments

Türev güzel fikir olmuş. Klasik bir çözüm mü bu yoksa fikir öyle geldi mi? 

---

Kendim denedim beceremedim, araştırıp buldum. Analizim pek iyi değildir ama sıradan bir çözümmüş gibi gelmedi bana.