$r$ pozitif bir irrasyonel sayı ve $0<a<b$ olsun. $a<nr-m<b$ olacak şekilde $n,m\in\mathbb{N}$ sayıları vardır.

Question

$r$ pozitif bir irrasyonel sayı ve $0<a<b$ olsun.

$a<nr-m<b$ olacak şekilde $n,m\in\mathbb{N}$ sayılarının varlığını gösteriniz.

Şu soruyu cevaplamak için kullanılabilir.

Answer 1

$r>0$ irrasyonel, $0<a<b$ olsun. $m\in\mathbb{N}^+,\ \frac1m<\min\{a,b-a\}$ olacak şekilde seçelim.
    Çekmece-çorap (Güvercin yuvası) ilkesinden, ($\{z\}=z-\lfloor z\rfloor$ olmak üzere) $\{xr\},\{yr\}\in\left[\frac {i-1}m,\frac im\right]$  olacak şekilde bir $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ ve farklı $x,y\in\mathbb{N}^+$ vardır. $x>y$ varsayabiliriz.

(Burada biraz Ekleme ve Düzeltme yaptım)

$\{xr\}>\{yr\}$ ise
    $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $0<(x-y)r-s=ur-v<\frac1m\quad (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor\geq0)$ olur.

$\{xr\}<\{yr\}$ ise
        $r\notin\mathbb{Q}$ olduğundan $-\frac1m<(x-y)r-s<0\ (s=\lfloor xr\rfloor-\lfloor yr\rfloor>0)$ olur.
    (Arşimet özelliğinden) bir $t\in\mathbb{N}^+$ için $-1<t((x-y)r-s)<-1+\frac1m$ olur. Bu durumda da
    $0<ts(x-y)r-(ts-1)=ur-v<\frac1m$ olur.

    $0<ur-v<a$ ve $0<ur-v<b-a$ olduğundan, (Arşimet özelliğinden)

bir $w\in\mathbb{N},\ (w\geq2)$ için $a<w(ur-v)=nr-k<b$ olur.

Comments

Çözümdeki eksik ve hatalı kısımları düzelttim.