Çözüm stratejimiz şöyle olacak:
Merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazmak zor değil. Bu yüzden verilen (bir noktası çıkarılmış) çemberi yani $$X=\{(x,y)~|~ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\}\setminus\{(\alpha,\beta)\}$$ kümesini öncelikle merkezi orijin olacak şekilde öteleyerek $$X'=\{(x',y')~|~x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$ kümesine dönüştüreceğiz. Ardından $(\alpha',\beta')$ noktası, çemberin kuzey kutup noktası olacak şekilde orijin etrafında pozitif yönde döndürerek $$X''=\{(x'',y'') ~|~ x''^2+y''^2=r^2\}\setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu adımdan sonra da yeni elde ettiğimiz çemberi $r$ birim kadar $y$ ekseni üzerinde pozitif yönde öteleyip $$X'''=\{(x''',y''') ~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\}\setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$ kümesini elde edeceğiz. Bu durumda artık merkezi $(0,r)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember elde etmiş olacağız. Bu çemberden $\mathbb{R}$ kümesine birebir örten bir fonksiyon yazıp gerekli düzenlemeleri yaparak nihai fonksiyonu bulacağız.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-1,0) -- (8,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-1) -- (0,6) node[above] {$y$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (4,3); % M(a,b)
\coordinate (P) at (5.6,4); % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
\draw[dashed,blue] (M) -- (4,0);
\draw[dashed,blue] (M) -- (0,3);
\node[below] at (4,0) {$a$};
\node[left] at (0,3) {$b$};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
%\draw[red, thick, line, -] (M) -- (P) node[midway, above right] {$r$};
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(a,b)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha, \beta)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
1. Adım: Öncelikle çemberin merkezini orijine öteleyelim. Bu işlemi yaptığımızda aşağıdaki ilişkileri elde ederiz.
$$X'=\{(x',y')~|~ x'^2+y'^2=r^2\}\setminus \{(\alpha',\beta')\}$$
$$x'=x-a \quad \quad \alpha'= \alpha-a$$
$$y'=y-b \quad \quad \beta' =\beta-b$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[right] {$y'$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0); % M(a,b)
\coordinate (P) at (1.680,0.900); % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, above left] {$r$};
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha', \beta')=(\alpha-a,\beta-b)$};
% Merkezden sağ üst çeyreğe çizilen yarıçap ve açı
%\draw[thick] (0,0) -- (1.2,1);
\draw (0.25,0.15) arc[start angle=30, end angle=90, radius=0.3cm];
\node at (0.20,0.45) {$\theta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
2. Adım: Ötelediğimiz çemberin $(\alpha',\beta')$ noktasını $y'$ eksenine gelecek şekilde döndürelim.
$$X''=\{(x'',y'')~|~ x''^2 + y''^2=r^2\} \setminus \{(\alpha'',\beta'')\}$$
$$x''=x' \cos\theta-y' \sin\theta\quad \quad\alpha''=\alpha'-a $$
$$y''=x' \sin\theta+y'\cos\theta\quad \quad \beta''=\beta'-b+r $$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->, thick] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x''$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm,grey,very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,0); % M(a,b)
\coordinate (P) at (0,1.900); % (c,d)
\def\r{sqrt((4-2)^2 + (4-2)^2)} % r = sqrt(8)
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={1.900}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[below left] {$(0,0)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Nokta (c,d) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha'', \beta'')=(0,r)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
3. Adım: Döndürdüğümüz çemberi $y''$ ekseninde $r$ kadar öteleyelim.
$$X'''=\{(x''',y''')~|~ x'''^2+(y'''-r)^2=r^2\} \setminus \{(\alpha''',\beta''')\}$$
$$x'''=x''\quad \quad \alpha'''=\alpha''$$
$$y'''=y''+r \quad\quad \beta'''=\beta''+r$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2); % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4); % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2} % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[blue, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(\alpha''', \beta''')=(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
$$f''':X'''\to \mathbb{R}, \ \ f'''(x''',y''')=\dfrac{2rx'''}{2r-y'''}$$
$$f'':X''\to \mathbb{R}, \ \ f''(x'',y'')=\dfrac{2rx''}{2r-(y''+r)}=\dfrac{2rx''}{r-y''}$$
$$f':X'\to \mathbb{R}, \ \ f'(x',y')=\dfrac{2r(x' \cos\theta -y' \sin\theta)}{r-x' \sin\theta-y'\cos \theta}$$
$$f:X\to \mathbb{R}, \ \ f(x,y)=\dfrac{2r[(x-a)(\beta-b)-(y-b)(\alpha-a)]}{r^2-(x-a)(\alpha-a)-(y-b)(\beta-b)}$$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1,>=stealth]
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Grid çizimi (isteğe bağlı)
%\draw[step=1cm, gray, very thin] (-5,-5) grid (5,5);
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2); % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4); % Aynı yarıçapla yukarı taşındı (r=1.9)
\def\r{2} % r elle verilmiş
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
%(0, 4) noktasından başlayıp negatif x eksenini kesen çizgi
\draw[thick, red, -] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (c,d) ve etiketi (içi boş noktaya dönüştürmek istersen \draw (P) circle (2pt); yaz)
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Koordinat eksenleri
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x'''$};
\draw[->] (0,-1) -- (0,5) node[above] {$y'''$};
% Yeni merkez ve çember üzerindeki nokta
\coordinate (M) at (0,2); % Yeni merkez: M(0,2)
\coordinate (P) at (0,4); % Çember üzerindeki nokta: (0,2r)
\def\r{2} % r elle verildi
\node[below left] at (0,0) {$0$};
% Yarıçap oku
\draw[blue, thick] (M) -- (P) node[midway, right] {$r$};
% Çember
\draw[black, thick] (M) circle[radius={\r}];
% Kırmızı çizgi: (0,4) noktasından başlayıp (-3,-1)'e giden
\draw[thick, red] (0,4) -- (-3,-1);
% Nokta M ve etiketi
\fill (M) circle (2pt) node[right] {$(0,r)$};
% Nokta (0,4) = (0,2r) ve etiketi
\draw (P) circle (3pt) node[above right] {$(0,2r)$};
\fill[white, draw=black] (P) circle (3pt);
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-2.4, 0);
\fill (A) circle (2pt) node[below right] {$f(a,b)$};
% X eksenini kestiği nokta: yaklaşık (-1.2, 0)
\coordinate (A) at (-1.77, 1.05);
\fill (A) circle (2pt) node[right] {$(a,b)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}