Question

$A\subseteq \mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $c\in A\cap D(A)$ olsun. $$\max_{x\in A} f(x)=f(c)\Rightarrow f'(c)=0$$ olduğunu gösteriniz.

NOT: $D(A)=\{x|x, A\text{'yığılma noktası}\}$

Answer 1

$f'(c)\neq 0$ olduğunu varsayalım. Bu durumda ya $f'(c)>0$ ya da $f'(c)<0$'dır.

 

I. Durum: $f'(c)>0$ olsun.

$f'(c)>0\Rightarrow \lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\exists \delta >0)(\forall x\in B^*(c,\delta))\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}>0\right) \\ \\ x\in (c,c+\delta)\cap A\Rightarrow x-c>0\end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)-f(c)>0)$

 

$\Rightarrow (\forall x\in (c,c+\delta)\cap A)(f(x)>f(c))$

 

elde edilir. Bu ise $$\max_{x\in A}f(x)=f(c)$$ olması ile çelişir.

 

II. Durum da, I. Duruma benzer şekilde yapılır.