Kısmi Sıralamaların Tam Sıralamaya Genişletilmesi

Question

Kısmi sıralamalar üzerine düşündüğümüzde, "Her kısmi sıralama tam sıralamaya genişletilebilir mi?"  sorusu üzerine detaylı bir analiz yapmak istedim. "Zorn'un Lemması" ve "Hausdorff Maksimal İlkesi" gibi sonuçlar, uygun aksiyomlar altında her kısmi sıralamanın tam sıralamaya genişletilebileceğini gösteriyor. Ancak, bazı durumlarda bu genişletmenin doğal olmadığı veya keyfi seçimler gerektirdiği sonucuna ulaşıyoruz. Örneğin, bir kümenin tüm alt kümeleri ve kapsama bağıntısı  ile oluşturulan kısmi sıralı yapı üzerine düşündüğümüzde:

$\bullet$ Küme A={1,2} olsun.

$\bullet$ Güç kümesi P(A) üzerinde kapsama bağıntısı ile bir kısmi sıralama tanımlayalım.

$\bullet$ Burada {1} ve {2} arasında doğrudan bir sıralama bağı yoktur, ancak tam sıralamaya genişletmek için bu iki eleman arasında rastgele bir sıralama ilişkisi kurmak zorunda kalırız. Bu durum, genişletme işleminin zorunlu olarak keyfi seçimler içerebileceğini ve bazen sıralamanın doğallığını bozabileceğini düşündürüyor. Bu nedenle, her kısmi sıralamanın anlamlı bir şekilde tam sıralamaya genişletilemeyeceğini iddia edebilir miyiz? Bu konu hakkında görüşlerinizi almak isterim

Comments

$(X,\preceq)$  poset ve  $\preceq^*\subseteq X^2$   olsun. Eğer  $\preceq^*$  bağıntısı

$1)$ $(X,\preceq^*)$ zincir

$2)$ $(\forall x,y\in X)(x\preceq y\rightarrow x\preceq^*y)$

koşullarını sağlarsa $\preceq^*$ bağıntısına $\preceq$ bağıntısının bir linear genişlemesi denir.

 

Sizin verdiğiniz $A=\{1,2\}$ kümesi için $(P(A),\subseteq)$ ikilisi bir posettir. Burada $\subseteq$ bağıntısını iki şekilde genişletebiliriz:

Birincisi

$\subseteq^*_1=\subseteq\cup \{(\{1\},\{2\})\}$ bağıntısı

ve ikincisi de

$\subseteq^*_2=\subseteq\cup \{(\{2\},\{1\})\}$ bağıntısı olur. Şimdi bu yorum üzerinden tartışmaya devam edebiliriz. Bir de anlamlı bir şekilde genişletmekten kastınızın ne olduğunu da yazarsanız daha sağlıklı ilerleriz.

---

Verdiğiniz cevabı inceledim. Fakat incelerken aklıma şunlar takıldı.Sizin verdiğiniz cevapta sıralama ilişkisini genişletmenin her zaman keyfi seçimler gerektirdiğini gösteriyor. Özellikle, \{1\} ve \{2\} arasında bir sıralama eklenmesi gerektiğinde, bu sıralama ilişkisini seçmek tamamen özgürdür. Bu da sıralamanın doğallığının bozulmasına yol açabilir. Sorduğum soruyu güncelleyecek olursak da

“Bir kısmi sıralamanın tam sıralamaya genişletilmesi sırasında, genişletme işleminin doğal ve anlamlı olabilmesi için ne gibi koşullar gereklidir? Özellikle, genişletme işlemi sırasında sıralama yapısının tutarlılığını korumak adına hangi matematiksel aksiyomlar veya sınırlamalar dikkate alınmalıdır?”