Konveks düzlemsel bir dörtgenin Fermat noktasının köşegenlerinin kesim noktası olduğunu gösteriniz. Dörtgenin konkav olması hali için bu noktayı belirleyiniz.

Question

Konveks düzlemsel bir dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın köşelere olan uzaklıkları toplamının en küçük olması için , bu noktanın köşegenlerin kesim noktası üzerinde olması gerektiğini gösteriniz. Dörtgenin konkav olması hali için bu noktayı belirleyiniz.

Answer 1

Çözüm [Lokman Gökçe]: Konveks (dış bükey) $ABCD$ dörtgeninin düzleminde keyfi bir $P$ noktası alalım. ($P$ noktası dörtgenin dışında da kalabilir.) $P$ nin köşelere olan uzaklıkları toplamı olan $S = |PA| + |PB| + |PC| + |PD|$ yi minimum yapmak istiyoruz. Üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PC| \geq |AC|$, $|PB| + |PD| \geq |BD|$ olup taraf tarafa toplarsak

$$S \geq |AC| + |BD|$$

olur. Eşitsizliklerdeki eşitlik durumlarının geçerli olabilmesi için $P$ noktasının hem $[AC]$ doğru parçası üstünde, hem de $[BD]$ doğru parçasının üstünde olması gerekir. Köşegenlerin kesin noktasına $E$ dersek, $P=E$ iken $S$ minimum olur. $$S_{\min} = |AC| + |BD|$$ dir.

Şimdi de $ABCD$ konkav (iç bükey dörtgenini) göz önüne alalım. $S$ toplamı aynı şekilde tanımlansın. Belirlilik açısından $D$ noktasının $ABC$ üçgensel bölgesinin içinde olduğunu varsayalım. Öncelikle $B$ ve $C$ köşelerine olan uzaklıklarının toplamı $$2a = |DB| + |DC|$$ olan noktalar kümesini düşünelim. Bu; odakları $B$ ve $C$ olan, asal eksen uzunluğu $2a$ olan bir elipstir. Bu elipsi $\Gamma$ ile gösterelim. Şimdi şu iki durumu inceleyeceğiz:

1. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin dışında ise (bkz. Şekil 1) $PBDC$ iç bükey dörtgen olup $|PB| + |PC| > |DB| + |DC|$ dir. Eşitsizlik kesindir. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PA| + |PD| > |DA|$ olup taraf tarafa toplarsak $$S > |DA| + |DB| + |DC|$$ buluruz.

2. Durum: $P$ noktası $\Gamma$ elipsinin içinde veya üzerinde ise (bkz. Şekil 2) $PADC$ iç bükey dörtgen olup $|PA| + |PC| \geq |DA| + |DC|$ dir. Eşitlik durumu yalnızca $P=D$ iken mümkündür. Ayrıca üçgen eşitsizliğinden $|PB| + |PD| \geq |DB|$ olur. Eşitlik durumu, $P$ noktası $[DB]$ doğru parçası üzerinde iken sağlanır. Taraf tarafa toplarsak $S \geq |DA| + |DB| + |DC|$ dir. Eşitlik durumlarının kesişimi incelenirse, $P=D$ iken eşitlik durumu mümkün olur. O halde $$S_{\min} = |DA| + |DB| + |DC|$$ olur.

Notlar:

1. Burada $\Gamma$ elipsini çizmemizin gerekçesini de açıklayalım. Şekil 2'de $|PB| + |PC| \leq |DB| + |DC|$ dir. Dolayısıyla 1. durumdaki adımları tamamen aynı tutarak uygulayamıyoruz. Fakat $P$ noktası elipsin içinde veya üzerinde iken bu kez de $PADC$ nin iç bükey dörtgen oluşunu kullanabiliyoruz.

2. $ABCD$ dış bükey iken keyfi $P$ noktasının $ABCD$ dörtgeninin içinde seçilme gibi bir zorunluluğu yoktur. Yani çözümde $P$ nin, dörtgenin içinde olması gerektiği gibi bir kabul kullanmadık. $ABCD$ iç bükey iken $P$ nin, $ABCD$ dörtgeninin iç bölgesinde veya üzerinde olduğunu varsaydım. Ancak $P$, dış bölgede de alınabilme serbestliğine sahip olursa benzer türde analizler yapılarak $P=D$ iken $S$ nin minimize olduğunu bulabiliriz diye düşünüyorum. Bu yüzden daha fazla şekil eklemedim. Yine de, bu tür bir dış nokta incelemesinde zorluk oluşuyorsa belirtebilirsiniz. Tekrar bakabiliriz.