İzomorfizma olması için gerek ve yeter şart (m,n)=1

Question

$G = <a>$   n-mertebeli devirli bir grup olsun.

$f: G-->G$ ,   $f(a)=a^m$ olarak tanımlamasın.

Bu fonksiyonun izomorfizma olması için gerek ve yeter şart $(m,n)=1$ olmasıdır gösteriniz

 

 

Çözüm için izlediğim yol:

$G= <a> = \{a^1 , a^2 , ... , a^n-1 , a^n = \text{birim} \}$elimizde olan bilgi.

İzomorfizma için homomorfizma 1-1 ve örten mi diye bakmalıyız.

Homomorfizma için:

G den Keyfi a^x ve a^y alalım, f(a^x . a^y) G'de midir diye baktım ve f'in homomorfizma geldiğini gördüm

1-1lik için f(a^x)=f(a^y) ise a^x=a^y midir diye bakmak istedim fakat a^xm = a^ym ile karşılaştım buradan sonra sanırım m ile n arasında asal olma ile ilgili bir şey kullanmam gerekiyor fakat ilerleyemedim yardımcı olur musunuz?

Comments

$a^{xm} = a^{ym}$ ise $xm\equiv ym\mod n$ olması işinize yarar mı?

---

evet hocam, dediğiniz gibi ilerlediğim de n böler xm-ym buldum burada m parantezinde yazdığım zaman ancak ve ancak (m,n)=1 olursa birebirlik şartının sağlandığını gördüm.

Örtenlik için Imf = {f(a^x) | a^x Elemandır G } diyerek ilerlemeye çalışacağım şimdi

---

Eleman sayıları eşit iki sonlu küme arasında birebir bir fonksiyon varsa örten de olur.