Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$\mathcal{P}=\{A\subseteq X | X\setminus cl(int(A))\neq \emptyset\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir primal olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$P_1)$ $X\setminus cl(int(X))=X\setminus cl(int(X))=X\setminus cl(X)=X\setminus X=\emptyset\Rightarrow X\notin \mathcal{P}.$

$P_2)$ $A\in\mathcal{P}$ ve $B\subseteq A$ olsun.

$\left.\begin{array}{rcl} A\in \mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(A))\neq\emptyset \\ \\ B\subseteq A \end{array}\right\}\Rightarrow X\setminus cl(int(B))\neq\emptyset\Rightarrow B\in\mathcal{P}.$

$P_3)$ $A\notin\mathcal{P}$ ve $B\notin\mathcal{P}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\notin\mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(A))=\emptyset\Rightarrow cl(int(A))=X \\ \\ B\notin\mathcal{P}\Rightarrow X\setminus cl(int(B))=\emptyset \Rightarrow cl(int(B))=X \end{array}\right\}\Rightarrow cl(int(A\cap B))=X$

$\Rightarrow X\setminus cl(int(A\cap B))=\emptyset$

$\Rightarrow A\cap B\notin \mathcal{P}.$