Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
262 kez görüntülendi
Metin Can Aydemir'in bir sorusu :

a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere 1a+1b=k2024 denkleminin (a,b) için çözümü olmamasını sağlayan en küçük k pozitif tamsayısı nedir?
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 262 kez görüntülendi

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözümde burada kanıtlanan teoremden faydalanalım. Buna göre çözümler (d1,d2)=1, d1|2024, d2|2024 ve k|(d1+d2) olmak üzere a=2024kd1+d2d1 ve b=2024kd1+d2d2  formunda olmalı.

k|(d1+d2) olması gerektiğinden 2024 sayısının aralarında asal olan (d1,d2) pozitif bölenleri:

(1,2),(1,4),(1,8),(1,11),(1,22),(1,23),(1,44),(1,46),(1,88),(1,92),(1,184),(1,253),(1,506),(1,1012),(1,2024),(2,11),(2,23),(2,253),(4,11),(4,23),(4,253),(8,11),(8,23),(8,253),(11,23),(11,46),(11,92),(11,184),(22,23),(23,44),(23,88)

ve bunların  toplamı

(1,2)3,(1,22)23,(1,88)89,(1,506)507,(2,11)13,(4,11)15,(8,11)19,(11,23)34,(11,184)195,(1,4)5,(1,23)24,(1,92)93,(1,1012)1013,(2,23)25,(4,23)27,(8,23)31,(11,46)57,(22,23)45,(1,8)9,(1,44)45,(1,184)185,(1,2024)2025,(2,253)255,(4,253)257,(8,253)261,(11,92)103,(23,44)67,(1,11)12,(1,46)47,(1,253)254,(23,88)111


olduğundan k=3,4,5,6 değerlerini alabileceği görülür. Ancak hiçbir toplam 7 nin katı olmadığından k=7 olamaz.

(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Çözüm Metin Aydemir'e aittir.

 

k üzerinden çözmeye çalışalım. Eşitlikte her tarafı 2024ab ile çarparsak, 2024a+2024b=kab elde edilir. Her tarafı önce k ile çarpıp, sonra da her tarafa 20242 eklenirse (ka2024)(kb2024)=20242=26112232 bulunur. Eğer k4048 olursa, ka2024=kb2024=2024, yani a=b=4048k seçilerek verilen eşitliğe bir çözüm bulunabilir. Dolayısıyla k=1,2,4 için çözüm vardır.

k=3 için ka2024=4 ve kb2024=10122 seçersek, a=676 ve b=10122+210123=101210143=1012338 bir çözümdür.

k=6 için k=3 durumundaki çözümlerin yarısını seçebiliriz. Yani a=6762=338 ve b=10123382=506338 seçebiliriz.

k=5 için ka2024=1 ve kb2024=20242 seçersek, a=20255=405 ve b=2024+202425=202420255=4052024 seçebiliriz.

k6 için denklemin çözümü vardır. k=7 için çözüm olmadığını gösterelim. Aksini varsayalım. (7a2024)(7b2024)=26112232 olacaktır. 7a20246(mod7) olduğundan 26112232'nin 7k+6 formatında bir böleni olmalıdır. d26112232 ise 1122(mod7) ve 232(mod7) olduğundan, d'nin 7'ye bölümünden kalan, 2'nin bir kuvvetine denk olmalıdır. Ancak 2n1,2,4(mod7) olduğundan asla 6 kalanı vermeyecektir. Demek ki böyle bir d yoktur. Dolayısıyla, çözüm de yoktur.
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Korsan çözüm:
Fibonacci algoritmasından 7/2024=7/2030+(7/20247/2030) 7/2024=1/290+3/145 olduğundan (3/145 birim kesir değil) en küçük k=7 olmalı. k<7 için algoritma  2 uzunluğunda (iki adet) birim kesirler veriyor.
(3.4k puan) tarafından 
20,328 soru
21,885 cevap
73,617 yorum
2,981,303 kullanıcı