xi pozitif tam sayı olmak üzere 1x1+...+1xk şeklindeki birim kesirlerin toplamı "Mısır kesirleri" olarak adlandırılır. Bu temsilde birim kesirler birbirinden farklı ise toplam "proper Mısır kesri", değilse "improper Mısır kesri"olarak adlandırılır. Her rasyonel sayının en az bir (hatta sonsuz) proper Mısır kesir temsili mevcuttur.
Eğer bir q rasyonel sayısı sabit bir k≥1 tam sayısı için q=1x1+...+1xk
şeklinde yazılıyorsa bu rasyonel sayıya "
k- kısıtlanmış Mısır kesri" denir. Bu kümedeki
q rasyonel sayısı
k tane birim kesrin toplamı olarak yazılır ya da
k uzunluktadır denir.
(0,1] aralığındaki k- kısıtlanmış Mısır kesirlerin kümesi
Mk={q∈(0,1]∩Q:q=1x1+...+1xk,1≤i≤k,xi≥1,tam sayı}
ile gösterilir. Örneğin
57=12+15+170=12+16+121=12+17+114 olduğundan
57∈M3'tür fakat
57∉M2 dir. Benzer olarak
37=13+111+1232 olduğundan
37∈M3'tür fakat
37∉M2 dir. Yani yeterince büyük bir
k sayısı için
(0,1] aralığındaki her rasyonel sayının k-kısıtlanmış bir Mısır kesir temsili yoktur ve bu da ayrı bir teoremdir.
Mk kümesinin elemanlarının hangi rasyonel sayılardan oluştuğunu bulmak zor bir sorudur, hatta bu kümeyi
k=3 için bile anlamak zordur. Örneğin "Erdös-Strauss Sanısı" olarak bilinen
4n=1x+1y+1z
denkleminin pozitif tam sayılarda her
n≥2 için çözümü olduğu iddiası hala açıktır. Bu sanı doğru ise
{4n:n≥4}⊆M3 olmalıdır.
k=2 durumunda 2-kısıtlanmış Mısır kesirleri kümesi
M2={q∈(0,1]∩Q:q=1x1+1x2}
için, bu kümenin elemanlarını anlamamızı/tespit etmemizi sağlayan şöyle bir teorem vardır:
Teorem.
1≤m≤n,
(m,n)=1 olacak şekilde
q=mn kesri verilsin.
M2={q∈(0,1]∩Q:q=1x1+1x2} olmak üzere
q∈M2 olması için gerek ve yeter şart
d1|n,d2|n,(d1,d2)=1,m|(d1+d2) şartlarını sağlayan
d1 ve
d2 pozitif tam sayılarının bulunmasıdır. Bu durumda
x1=n(d1+d2)md1,x2=n(d1+d2)md2
şeklindedir. Gösteriniz.