Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
356 kez görüntülendi
Bir metrik uzayda (xn)n Cauchy dizisi yakınsaktır gerek ve yeter koşul  (xn)n dizisinin yakınsak bir altdizisi vardır.
Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından yeniden açıldı | 356 kez görüntülendi
Bu soruda neler düşündüğünü/denediğini de eklemelisin @ Ruveyda Bıçakçı.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Gereklilik kısmı açıktır: Bir (X,d)topolojik uzayında (xn)xX olması için gerek ve yeter şart her xnk alt dizisi için xnkx olduğundan (yani bir dizinin limiti ile alt dizilerinin limiti aynıdır) Cauchy dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.

xnkx olsun. Her ϵ>0 için d(xi,x)<ϵ olacak şekilde bir N<i göstergecinin varlığını göstermeliyiz. (xn) bir Cauchy dizisi olduğundan öyle bir Mj göstergeci vardır ki d(xM,xj)<ϵ/2 ve dizinin yakınsaklığından d(xM,x)ϵ/2 yazabiliriz.

M=N alırsak d(xi,x)d(xN,x)+d(xi,xN)=ϵ/2+ϵ/2=ϵ  d(xi,x)<ϵ elde edilir.
(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,044,807 kullanıcı